10.2 Système à N degrés de liberté
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b) Équations découplées du mouvement non amorti
Soit un système à N ddl :
M ¨
U + KU = F(t)
Dans le domaine linéaire, [f] reste constant au cours du temps. Par projection dans l’espace des modes propres, l’équation du mouvement peut se
mettre sous la forme :
f
T
n Mf n ¨
Y n + f
T
n Kf n Y n = f
T
n F(t)
Appelons ¯
M n = f
T
n Mf n la masse généralisée, ¯
K n = f
T
n Kf n la raideur
généralisée et ¯
F n = f
T
n F(t) la force généralisée. L’équation du mouvement
se retrouve sous sa forme scalaire en Y n (t) pour le mode n :
¯
M n ¨
Y n + ¯
K n Y n = ¯
F n
Soit encore :
¨
Y n + v
2
n Y n =
¯
F n
¯
M n
On résoud les Y n pour n = 1, 2, ...., N . Connaissant Y (t), on calcule la
réponse dans le système de coordonnées géométriques :
U (t) =
N
n=1
f n Y n (t) = [f]Y (t)
c) Équations découplées du mouvement amorti
Si les f n ne sont pas orthogonaux par rapport à la matrice d’amortissement
C alors on ne peut pas découpler les équations du mouvement. Dans le cas
contraire, l’équation discrète du mouvement peut se mettre sous la forme
suivante pour le mode n :
¯
M n ¨
Y n + ¯
C n ˙
Y n + ¯
K n Y n = ¯
F n
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