1.2 Études des poutres sous diverses sollicitations
13
c) Le moment de torsion dans une poutre
Considérons une poutre de section circulaire (pleine ou évidée), de rayon R
soumise à un moment de Torsion constant M x . La contrainte de cisaillement
en tout point P, repéré par sa distance r au centre de gravité G de la section
est obtenue par :
t =
M x r
J
avec J le moment quadratique de torsion (J = pR
4 /2, pour une section
pleine et J = p(R
4
1 − R
4
2 )/2 pour une section évidée de rayon intérieur R 2 ).
G
G’
P’
− → x
dx
r
− → y
Figure 1.7
Le déplacement relatif de deux sections voisines distantes de dx est une
rotation du autour de l’axe − → x . En introduisant le module de cisaillement du
matériau G, la loi de comportement généralisée d’une poutre en torsion est :
du
dx
= −
M x
G J
Pour toute section droite autre que circulaire, l’expression de la contrainte
et de la loi de comportement généralisée doit prendre en compte le gauchissement des sections.
• Section rectangulaire
En considérant une section rectangulaire de hauteur h et d’épaisseur e (avec
e < h), la contrainte de cisaillement maximum vaut t max = M x /k 1 he
2 et la
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