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1 • Théorie des poutres
Utilisant la loi de comportement uniaxiale reliant la contrainte et la déformation ainsi que la définition d’une contrainte généralisée de flexion, nous
pouvons exprimer le moment fléchissant dans une section S d’abscisse x
par :
M z =
S
Ex z . y
2 ds
Soit, en introduisant la définition du moment d’inertie quadratique I z =
S
y
2 ds, la loi de comportement généralisée d’une poutre en flexion :
M z = E I z x z
Pour deux sections infiniment voisines, sous l’hypothèse des petits déplacements et petites déformations, on peut assimiler la courbure de la poutre à
la dérivée de la rotation, soit à la dérivée seconde du déplacement :
M z = E I z
∂
2 u y (x)
∂x 2
La contrainte normale, en fonction du moment fléchissant, est obtenue en
tout point de la poutre par :
s xx (x, y) = −
M z (x)y
I z
e
G
v
v
s
− → z
exx (v
) = −xzv
exx (v) = xzv
sxx (v
) = −
Mzv
E I
sxx (v) =
Mz v
E I
− → y
− → y
− → y
Figure 1.6
Les distributions de la déformation et de la contrainte normale le long de
la section sont linéaires.