1.2 Études des poutres sous diverses sollicitations
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– flexion composée : N = 0, M y = 0 et V z = 0 ou M z = 0 et V y = 0,
M x = 0
– flexion déviée : M y = 0, V z = 0 et M z = 0, V y = 0, N = 0 et M x = 0
– flexion composée déviée : N = 0, M y = 0, V z = 0 et M z = 0, V y = 0,
M x = 0
– torsion : M x = 0, N = 0, V y = V z = 0 et M y = M z = 0
Les effets des 3 actions de base sont étudiés dans les paragraphes suivants.
a) L’effort normal dans une poutre
On considère une poutre droite (barre) isostatique de module d’Young E,
de longueur L et de section S(x) soumise à un effort normal N ext . L’effort
normal est constant le long de la barre et vaut N (x) = N ext . La contrainte
est constante le long de la barre et dans la section droite et vaut : s xx =
N x (x)/S. Par la loi de comportement, e xx = s xx /E = N (x)/E S(x). La
déformation latérale, dans les directions z et y vaut e yy = e zz = −ne xx .
Considérant la relation entre le déplacement axial et la déformation axiale,
nous pouvons exprimer la loi de comportement généralisée d’une poutre
sous un effort axial centré :
N = E S(x)
∂u x
∂x
Le déplacement en tout point d’une barrre s’obtient par intégration :
u(x) =
L
0
N
E S(x)
dx
b) Le moment fléchissant dans une poutre
Considérant une flexion plane selon la direction − → y , l’hypothèse d’EulerBernoulli permet d’obtenir le profil des déformations axiales le long de la
section droite :
e xx = −
∂u z
∂x
. y = −x z . y
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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– flexion composée : N = 0, M y = 0 et V z = 0 ou M z = 0 et V y = 0,
M x = 0
– flexion déviée : M y = 0, V z = 0 et M z = 0, V y = 0, N = 0 et M x = 0
– flexion composée déviée : N = 0, M y = 0, V z = 0 et M z = 0, V y = 0,
M x = 0
– torsion : M x = 0, N = 0, V y = V z = 0 et M y = M z = 0
Les effets des 3 actions de base sont étudiés dans les paragraphes suivants.
a) L’effort normal dans une poutre
On considère une poutre droite (barre) isostatique de module d’Young E,
de longueur L et de section S(x) soumise à un effort normal N ext . L’effort
normal est constant le long de la barre et vaut N (x) = N ext . La contrainte
est constante le long de la barre et dans la section droite et vaut : s xx =
N x (x)/S. Par la loi de comportement, e xx = s xx /E = N (x)/E S(x). La
déformation latérale, dans les directions z et y vaut e yy = e zz = −ne xx .
Considérant la relation entre le déplacement axial et la déformation axiale,
nous pouvons exprimer la loi de comportement généralisée d’une poutre
sous un effort axial centré :
N = E S(x)
∂u x
∂x
Le déplacement en tout point d’une barrre s’obtient par intégration :
u(x) =
L
0
N
E S(x)
dx
b) Le moment fléchissant dans une poutre
Considérant une flexion plane selon la direction − → y , l’hypothèse d’EulerBernoulli permet d’obtenir le profil des déformations axiales le long de la
section droite :
e xx = −
∂u z
∂x
. y = −x z . y
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