10.2 Système à N degrés de liberté
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ˆ
U représente les modes de déformations possibles qui ne changent pas avec
le temps (seule l’amplitude varie). L’analyse du système nous montre qu’une
solution n’est possible que si :
det
M
−1 K − v
2 I
= 0
C’est l’équation aux fréquences du système. En développant le déterminant,
nous obtenons une équation polynomiale de degré N en v
2 . Les N racines
sont les fréquences propres des N modes de vibration du système
v
2
1 , v
2
2 ,
v
2
3 , . . . v
2
N
.
10.2.4 Détermination des modes propres de vibration
Pour compléter le problème aux valeurs propres, on peut calculer les N
formes de vibrations correspondant aux N modes de vibration. Si nous remplaçons les valeurs de v n :
K − v
2
n M
( ˆ
U n ) = 0
L’ensemble des vecteurs modaux de vibration propre peuvent ête mise sous
forme matricielle :
[f] = [f 1 f 2 f 3 .........f N ]
10.2.5 Propriété d’orthogonalité des modes
Si v n = v m alors,
f
T
m Kf n = 0
et
f
T
m Mf n = 0
Les vecteurs modes de vibration sont dits orthogonaux par rapport aux
matrices M et K. Ainsi la matrice [f
T ]M[f] = [ ˆ
M] est diagonale et
f
T
n Mf n = ˆ
M n
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