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10 • Dynamique et vibrations
c) Réponse en fréquence à un chargement arbitraire
Il s’agit d’une extension aux fonctions non périodiques de la décomposition
en séries de Fourier. Une charge quelconque (ou fonction quelconque, p(t))
peut être décrite par une intégrale représentant les contributions des composantes harmoniques ayant un spectre de fréquence continu de −∞ à +∞.
Les intégrales :
ˆ
P( ¯
v) =
+∞
−∞
p(t)e
−i ¯
vt dt et p(t) =
1
2p
+∞
−∞
ˆ
P( ¯
v)e
i ¯
vt d ¯
v
constituent une paire de transformée de Fourier. ˆ
P( ¯
v) est appelée transformée de Fourier de p(t) et p(t) est appelée transformée inverse de Fourier
de ˆ
P( ¯
v).
Par analogie à la réponse d’un système soumis à une charge périodique
décomposée en séries complexes de Fourier, la réponse d’un système à un
ddl est obtenue en calculant la somme des composantes de la réponse sur
l’étendue des fréquences, on obtient ainsi :
u(t) =
1
2p
+∞
¯
v=−∞
ˆ
U ( ¯
v)e
i ¯
vt d ¯
v =
1
2p
+∞
¯
v=−∞
ˆ
H ( ¯
v) ˆ
P( ¯
v)e
i ¯
vt d ¯
v
avec :
ˆ
U ( ¯
v) =
+∞
−∞
u(t)e
−i ¯
vt dt = ˆ
H ( ¯
v) ˆ
P( ¯
v)
Remarque : La réponse impulsionnelle h(t) est la transformée
inverse de Fourier de la réponse en fréquence ˆ
H ( ¯
v).
10.1.6 Réponse à des chargements impulsionnels simples
La tableau ci-après fournit le coefficient d’amplification dynamique maximal obtenu pour un système à un degré de liberté soumis à des charges
impulsionnels sinusoïdale et rectangulaire. Pour des impulsions de courtes
durées, nous considérons ci-après que le temps d’application de l’effort
t 1 est petit devant la période propre de l’oscillateur T . Ainsi, le déplacement maximum est atteint pendant la vibration libre, à la fin du chargement
b = v/v = T /T > 1
.