10.1 Système à 1 degré de liberté
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a) Réponse simplifiée à une impulsion
Considérons une charge impulsionnelle p(t). Si la durée du chargement
(t 1 ) est très courte par rapport à la période de vibration du système
T (t 1 T ), on peut faire l’hypothèse qu’il n’y a pas de changement notable
du déplacement durant le temps d’application du chargement mais par
contre qu’un changement de vitesse peut être considéré. Soit la relation
entre impulsion et quantité de mouvement :
I = mD ˙
u ∼
t1
0
p(t)dt
Si l’impulsion (unitaire de Dirac) a lieu à t = t, le déplacement du système au temps ¯
t = t − t se met sous la forme :
u( ¯
t) =
1
mv
sin v ¯
t = h( ¯
t)
où h(t) est la réponse à une impulsion unitaire.
Pour un système amorti :
h( ¯
t) =
1
mv D
e
−jv¯ t sin v D ¯
t
b) Réponse temporelle à un chargement arbitraire
Le chargement est ici considéré comme une suite d’impulsions unitaires. La
réponse totale est obtenue par la somme des réponses différentielles :
u(t) =
t
0
p(t)h(t − t)dt
soit :
u(t) =
1
mv
t
0
p(t) sin v(t − t)dt
Cette dernière équation est appelée intégrale de Duhamel.
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