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10 • Dynamique et vibrations
b) Représentation d’une charge périodique en série complexe
de Fourier
On peut représenter une charge périodique, de période T P par décomposition
en série de Fourier de la forme :
p(t) = a 0 +
∞
n=1
a n cos ¯
v n t +
∞
n=1
b n sin ¯
v n t
La charge est ainsi décomposée en une somme d’une charge constante
représentant la moyenne et d’une série de charges harmoniques de fréquence ¯
v n, d’amplitude a n et b n , représentant la variation par rapport à la
valeur moyenne. Par les équations d’Euler, nous pouvons relier ces fonctions trigonométriques aux fonctions exponentielles complexes. La série de
Fourier pour la charge p(t) devient :
p(t) =
∞
−∞
ˆ
P n e
i ¯
vnt
Avec :
ˆ
P n =
1
T P
TP
0
p(t)e
−i ¯
vnt dt
c) Réponse à un chargement décomposé en série complexe
de Fourier
Du principe de superposition, la réponse totale permanente d’un oscillateur
élémentaire à une excitation périodique peut s’écrire :
u(t) =
∞
−∞
ˆ
H ( ¯
v n ) ˆ
P n ( ¯
v n )e
i ¯
vnt
10.1.5 Réponse à une charge arbitraire
Dans ce parapraphe, nous décrivons deux manières différentes (temporelle
et fréquentielle) permettant d’obtenir la réponse d’un système à un ddl soumis à une action dynamique quelconque.