10.1 Système à 1 degré de liberté
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• Amortissement souscritique, j < 1
C’est le cas le plus courant rencontré en dynamique des structures. La
pseudo-pulsation de l’oscilateur amorti v D est égale à v D = v
1 − j 2
.
L’amortissement a donc tendance à diminuer les pulsations propres d’un
système. Le déplacement s’exprime comme suit :
u(t) =
u 0 cos(v D t) +
jvu 0 + ˙
u 0
v D
sin(v D t)
e
−jvt
Ces deux fonctions trigonométriques périodiques peuvent se combiner pour
exprimer le déplacement sous la forme simple suivante :
u(t) = r cos(v D t − u) e
−jvt
Avec r =
u 2
0 +
jvu 0 + ˙
u 0
v D
2
et u = tan
−1
jvu 0 + ˙
u 0
v D u 0
10.1.3 Le régime forcé sinusoïdal
Dans ce cas de figure, nous allons étudier la réponse du système à un degré
de liberté soumis à une excitation harmonique du type sinusoïdal. En effet,
nous verrons par la suite que les systèmes les plus complexes, soumis à
des charges les plus variées peuvent se ramener à ce cas précis. le second
membre de l’équations différentielle du mouvement s’exprime maintenant
par p(t) = p 0 sin( ¯
vt). Nous noterons b, le rapport de la pulsation excitatrice
à la pulsation propre du système : b = ¯
v/v.
a) Régime forcé conservatif
La solution complète s’écrit :
u(t) =
p 0
k
1
1 − b 2
sin( ¯
vt) − b sin(vt)
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