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10 • Dynamique et vibrations
a) Régime libre conservatif
Un régime conservatif, caractérisé par un amortissement c = 0 ne dissipe
pas d’énergie par amortissement. La solution en déplacement de l’équation
différentielle est :
u(t) =
˙
u 0
v
sin v(t) + u 0 cos v(t)
Nous pouvons composer ces deux fonctions en les projetant sur l’axe des
réels afin d’obtenir un vecteur résultat de longueur r =
u 2
0 +
˙
u 0
v
2
et
d’angle de phase u = tan
−1 ( ˙
u 0 /u 0 v), ainsi :
u(t) = r cos(vt − u)
b) Régime libre dissipatif
Pour c = 0, la solution de l’équation caractéritisque est :
s = jv ± v
j 2 − 1
En fonction de la valeur donnée à l’amortissement (j =, > ou < à 1) ,
trois types de comportement peuvent être distingués :
• Amortissement critique, j = 1
La solution, apériodique, est :
u(t) = (u 0 (1 + vt) + ˙
u 0 t) exp
−vt
• Amortissement surcritique, j > 1
en notant ˜
v = v
j 2 − 1
, la solution apériodique, est :
u(t) =
u 0 cosh( ˜
vt) +
jvu 0 + ˙
u 0
˜
v
sinh( ˜
vt)
e
−jvt