10.1 Système à 1 degré de liberté
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L’équation d’équilibre dynamique de la masse m s’écrit en invoquant le
principe de d’Alembert par la prise en compte des efforts d’inertie sous
forme d’efforts extérieurs :
F(t) = 0, soit :
ku(t) + c ˙
u(t) + m ¨
u(t) = mg + p(t)
En décomposant le déplacement u(t) en un terme statique u s = mg/k
et un terme dynamique u d (t), il s’avère que les composantes statiques s’éliminent entre elles dans l’équation du mouvement précédente pour ne conserver que la partie dynamique du déplacement :
ku d (t) + c ˙
u d (t) + m ¨
u d (t) = p(t)
Pour des systèmes linéaires, il y a découplage entre les effets statiques et
dynamiques. Un problème de dynamique linéaire ne devra pas comporter
de composantes statiques aussi bien en effort qu’en déplacement. Seule sera
prise en compte la partie dynamique du déplacement assimilée à une perturbation dynamique autour de la position d’équilibre statique. Dans la suite,
dans un souci de simplicité nous noterons u d (t) = u(t).
On peut différentier l’étude d’un système dynamique en fonction de différents régimes vibratoires : libre, forcé ou permanent.
10.1.2 Le régime libre
Un régime libre correspond à la solution générale de l’équation différentielle sans second membre (pour p(t) = 0). Les conditions intiales à t = 0
sont un déplacement et une vitesse initiale notée u 0 et ˙
u 0 . On note la pulsation v
2 = k/m, l’amortissement critique c c = 2mv = 2
√
km = 2k/v
et l’amortissement relatif j = c/c c . En recherchant des solutions sous la
forme u = C e
st , l’équation caractéristique du système est :
s
2 + 2jvs + v
2 = 0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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L’équation d’équilibre dynamique de la masse m s’écrit en invoquant le
principe de d’Alembert par la prise en compte des efforts d’inertie sous
forme d’efforts extérieurs :
F(t) = 0, soit :
ku(t) + c ˙
u(t) + m ¨
u(t) = mg + p(t)
En décomposant le déplacement u(t) en un terme statique u s = mg/k
et un terme dynamique u d (t), il s’avère que les composantes statiques s’éliminent entre elles dans l’équation du mouvement précédente pour ne conserver que la partie dynamique du déplacement :
ku d (t) + c ˙
u d (t) + m ¨
u d (t) = p(t)
Pour des systèmes linéaires, il y a découplage entre les effets statiques et
dynamiques. Un problème de dynamique linéaire ne devra pas comporter
de composantes statiques aussi bien en effort qu’en déplacement. Seule sera
prise en compte la partie dynamique du déplacement assimilée à une perturbation dynamique autour de la position d’équilibre statique. Dans la suite,
dans un souci de simplicité nous noterons u d (t) = u(t).
On peut différentier l’étude d’un système dynamique en fonction de différents régimes vibratoires : libre, forcé ou permanent.
10.1.2 Le régime libre
Un régime libre correspond à la solution générale de l’équation différentielle sans second membre (pour p(t) = 0). Les conditions intiales à t = 0
sont un déplacement et une vitesse initiale notée u 0 et ˙
u 0 . On note la pulsation v
2 = k/m, l’amortissement critique c c = 2mv = 2
√
km = 2k/v
et l’amortissement relatif j = c/c c . En recherchant des solutions sous la
forme u = C e
st , l’équation caractéristique du système est :
s
2 + 2jvs + v
2 = 0
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