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8 • Instabilité des structures
du repère général comme ligne de coordonnées portant les abscisses curvilignes − → x et − → y de la plaque. En projetant les équations vectorielles d’équilibre d’un élément de plaque dans le repère lié à la plaque, nous obtenons
cinq équations d’équilibre dont une seule sera utile pour notre cas. En introduisant les expressions des efforts tranchants en fonction de la déformée
transversale de la plaqué notée v, nous obtenons l’équation de Lagrange
généralisée.
P Z − Dv + N x
∂
2 v
∂x 2 + N y
∂
2 v
∂ y 2 + 2N xy
∂
2 v
∂x∂ y
= 0
Pour une plaque d’épaisseur h, la rigidité de flexion de l’élément vaut :
D = Eh
3 /12
1 − n
2
. Nous traiterons d’une plaque simplement appuyée
sur ces quatre côtés, soumises à un effort normal le long du plus grand
coté a.
a
b
F
F
− → x
− → y
Figure 8.5
En dénommant les différents modes d’instabilité possible par le nombre
de demi-ondes m et n transversales de cloquage développées respectivement
dans les directions − → x et − → y , l’allure de la déformée transversale (à un facteur
d’amplification q près) est de la forme :
v xy = q mn sin
mpx
a
sin
npy
b
La charge fondamentale de flambement (la plus petite) est obtenue avec n =
1 et m = a/b et vaut F cr = 4p
2 D/b
2 . Si les dimensions de la plaque sont
fixées, m n’est pas un entier. Nous pouvons tracer sur un schéma l’évolution