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8 • Instabilité des structures
8.1.2 Solutions générales des poutres comprimées
Du fait des conditions limites particulières liées à la résolution du problème
de la poutre d’Euler au paragraphe précédent, les efforts internes à la structure pouvaient être déterminés sans prise en comptes des efforts de liaison.
Dans le cadre le plus générale, ces derniers doivent être pris en compte, et
l’équation différentielle suivante doit être résolue, avec les effets du second
ordre dans l’équilibre d’un tronçon de poutre :
E I v
(x)
+
Pv
(v)
= 0
La solution générale pour E, I et P constants est donnée par :
v(x) = A sin kx + B cos kx + C x + D
A, B, C et D sont des constantes à déterminer en fonction des conditions
aux limites de la pièce étudiée. Les types de liaison les plus fréquemment
rencontrés sont, pour un appui O :
– L’encastrement : v O = 0 et v
O = 0
– La rotule : v O = 0, M O = 0 et u O = 0
– L’appui simple : v O = 0 et M O = 0
– L’appui continu de raideur k
– Libre : V O = 0 et M O = 0
– L’encastrement partiel, induisant une raideur en rotation : k 0
8.1.3 Solutions particulières pour des poutres de section
constante
Nous appelerons l 0 la longueur de flambement, correspondant à la longueur
qu’il faudrait appliquer à la solution de la poutre d’Euler pour obtenir les
mêmes charges critiques de flambement pour tout autre type de conditions
limites.
8 • Instabilité des structures
8.1.2 Solutions générales des poutres comprimées
Du fait des conditions limites particulières liées à la résolution du problème
de la poutre d’Euler au paragraphe précédent, les efforts internes à la structure pouvaient être déterminés sans prise en comptes des efforts de liaison.
Dans le cadre le plus générale, ces derniers doivent être pris en compte, et
l’équation différentielle suivante doit être résolue, avec les effets du second
ordre dans l’équilibre d’un tronçon de poutre :
E I v
(x)
+
Pv
(v)
= 0
La solution générale pour E, I et P constants est donnée par :
v(x) = A sin kx + B cos kx + C x + D
A, B, C et D sont des constantes à déterminer en fonction des conditions
aux limites de la pièce étudiée. Les types de liaison les plus fréquemment
rencontrés sont, pour un appui O :
– L’encastrement : v O = 0 et v
O = 0
– La rotule : v O = 0, M O = 0 et u O = 0
– L’appui simple : v O = 0 et M O = 0
– L’appui continu de raideur k
– Libre : V O = 0 et M O = 0
– L’encastrement partiel, induisant une raideur en rotation : k 0
8.1.3 Solutions particulières pour des poutres de section
constante
Nous appelerons l 0 la longueur de flambement, correspondant à la longueur
qu’il faudrait appliquer à la solution de la poutre d’Euler pour obtenir les
mêmes charges critiques de flambement pour tout autre type de conditions
limites.