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7 • Formulation des éléments finis
Sous forme matricielle, nous voyons apparaître les fonctions de formes w :
v(x)
u(x)
=
⎡
⎢
⎣
1 −
3x
2
2 +
2x
3
3 x −
2x
2
+
x
3
2
3x
2
2 −
2x
3
3 −
x
2
+
x
3
2
−
6x
2 +
6x
2
3 1 −
4x
+
3x
2
2
6x
2 −
6x
2
3 −
2x
+
3x
2
2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎣
v 1
u 1
v 2
u 2
⎤
⎥
⎥
⎦ = [w] [u]
Le calcul de la déformation repose sur l’hypothèse d’Euler-Bernoulli :
[´] = ´ 11 = −
∂
2
v(x)
∂x 2 y
et l’écriture sous forme matricielle donne :
[´] = −y
−
6
2 +
12x
3
−
4
+
6x
2
6
2 −
12x
3
−
2
+
6x
2
⎡
⎢
⎢
⎣
v 1
u 1
v 2
u 2
⎤
⎥
⎥
⎦
La relation de comportement est réduite à :
[s] = [E] [´] = E [´]
b) Construction de la matrice de raideur locale
Les termes de la matrice de raideur locale se calculent à partir de l’expression (7.3) :
K =
V
[d]
t [E] [d] dV
=
⎡
⎢
⎢
⎣
K 11
K 12 K 13 K 14
K 22 K 23 K 24
(Sym)
K 33 K 34
K 44
⎤
⎥
⎥
⎦