7.4 Application à l’étude d’une poutre sollicitée en flexion
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a) Fonctions de forme
Pour un problème de poutre en flexion, dont la déformée est un polynôme
de degré trois, on propose la fonction d’interpolation suivante :
v(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x
2 + a 3 x
3
Les constantes a 0 , a 1 , a 2 et a 3 sont obtenues en fonction de la valeur des
degrés de liberté aux nœuds 1 et 2, soient v 1 , u 1 et v 2 , u 2 :
v(0) = v 1
v
(0) = u 1
v() = v 2
v
() = u 2
Ces quatre conditions permettent d’écrire le système de quatre équations à
quatre inconnues, permettant de calculer les constantes a 0 , a 1 , a 2 et a 3 :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
a 0 = v 1
a 1 = u 1
a 0 + a 1 + a 2
2 + a 3
3 = v 2
a 1 + 2a 2 + 3a 3
2 = u 2
soit :
a 0 = v 1
a 1 = u 1
a 2 = 3
v 2 − v 1
2 −
2u 1 + u 2
a 3 = 2
v 1 − v 2
3 +
u 1 + u 2
2
La fonction d’interpolation s’écrit finalement :
v(x) = v 1 + u 1 x +
3
v 2 − v 1
2 −
2u 1 + u 2
x
2 +
2
v 1 − v 2
3 +
u 1 + u 2
2
x
3
=
1 −
3x
2
2 +
2x
3
3
v 1 +
x −
2x
2
+
x
3
2
u 1
+
3x
2
2 −
2x
3
3
v 2 +
−
x
2
+
x
3
2
u 2
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