7.2 Principe des éléments finis
155
et des efforts
F sur une partie du bord ∂V.
V
f (M). u(M)dV +
∂V
F(M). u
∗ (M)d S −
V
s : ´
∗ dV = 0
pour le champ de déplacement u
∗ . La structure étudiée est discrétisée en
un ensemble d’éléments : le maillage. Chaque élément possède n nœuds. La
résolution du problème se base sur l’interpolation du champ de déplacement
de chaque élément suivant la forme :
u(M) =
⎡
⎣
u(M)
v(M)
w(M)
⎤
⎦ =
⎡
⎣
w 11 w 12 w 13 · · · w 1(3n)
w 21 w 22 w 23 · · · w 2(3n)
w 31 w 32 w 33 · · · w 3(3n)
⎤
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
u 1
v 1
w 1
. . .
u n
v n
w n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= [w] [u]
Les fonctions w i j sont les fonctions de forme. Le tenseur de déformation
s’obtient par les équations de la cinématique pour s’écrire sous la forme :
´( u(M))
= [d] [u]
(7.1)
où [d] désigne la matrice des dérivées des fonctions de forme.
Enfin, le tenseur des contraintes s’obtient grâce à la loi de comportement
sous la forme :
[s] = [E] [d] [u]
(7.2)
Pour un matériau élastique isotrope de module d’Young E et de coefficient
de Poisson n,
[E] =
E
(1 + n)(1 − 2n)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 − n n
n
0
0
0
n 1 − n n
0
0
0
n
n 1 − n
0
0
0
0
0
0 (1− 2n)/2
0
0
0
0
0
0
(1− 2n)/2
0
0
0
0
0
0
(1− 2n)/2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
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