1.1 Principes de base en résistance des matériaux
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b) Les hypothèses cinématiques
Les déplacements, rotations et déformations sont supposés petits. La poutre,
de part ses équations d’équilibre, sera donc étudiée dans sa configuration de
référence. C’est l’hypothèses des Petites Perturbations.
L’hypothèse d’Euler-Bernoulli suppose que, pour toutes transformations
géométriques, les sections droites d’une poutre restent planes et perpendiculaires à la fibre moyenne. Cette hypothèse permet de définir le déplacement
− →
U P de tout point P, d’une section droite uniquement en fonction du déplacement du centre de gravite
− →
U G et de la rotation de la section droite
− →
Q (s) à
l’abscisse curviligne s.
− →
U P (s) =
− →
U G (s) +
− →
Q (s) ∧
− − →
G P
Dans le cas d’une poutre droite, l’abscisse curviligne est confondue avec
l’axe x, le champ de déplacement
− →
U (u x , u y , u z ) de tout point P(x, y, z) peut
ainsi être obtenu par :
u x (x, y, z) = u x + u y (x).z − u z (x).y
u y (x, y, z) = u y − u x (x).z
u z (x, y, z) = u z + u x (x).y
Dans la suite, nous définirons la courbure x par x = dQ/dx.
Les déformations non nulles sont données par :
e xx (x, y, z) =
∂u x (x)
∂x
+ x y (x).z − x z (x).y
2e xy (x, y, z) =
∂u y (x)
∂x
− u z (x) − x x (x).z
2e xz (x, y, z) =
∂u z (x)
∂x
+ u y (x) + x x (x).y
Sous l’hypothèse que les déformations de cisaillement sont nulles (hypothèse d’Euler-Bernoulli), on peut définir la rotation u d’une section droite
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