1.1 Principes de base en résistance des matériaux
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1.1.3 La loi de comportement
La relation liant le tenseur des contraintes au tenseur des déformations est
la loi de comportement. Sous l’Hypothèse de Petites Perturbations, pour un
matériau homogène, linéaire et isotrope, la loi de comportement est un opérateur linéaire du 4ième ordre. La loi d’élasticité, ou loi de Hooke introduit
2 paramètres matériaux : le module d’Young E et le coefficient de Poisson
n. La relation tensorielle s’exprime comme suit :
e =
1 + n
E
s −
n
E
tr s . Id
Id est le tenseur identité, tr s désigne la trace de s. À l’inverse, la relation
exprimant la contrainte à la déformation, en fonction des coefficients de
Lamé (l et m) est :
s = 2me + l tr e . Id
Les paramètres d’élasticité et les coefficients de Lamé sont liés par les relations :
l =
nE
(1 + n)(1 − 2n)
m =
E
2(1 + n)
En écrivant les tenseurs des contraintes et déformations en vecteur colonne
de taille 6, on peut exprimer la loi de Hooke de manière matricielle, plus
simple d’interprétation.
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
s xx
s yy
s zz
s yz
s zx
s xy
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2m + l
l
l
0 0 0
l
2m + l
l
0 0 0
l
l
2m + l 0 0 0
0
0
0
m 0 0
0
0
0
0 m 0
0
0
0
0 0 m
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
e xx
e yy
e zz
2e yz
2e zx
2e xy
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
Dans un cas de chargement bidimensionnel, la loi de comportement se
retrouve sous forme simplifiée et condensée. Dans un cas d’hypothèse de
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