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1 • Théorie des poutres
t
sn
s 1
s 2
sxy
−sxy
sxx
syy
2u
Figure 1.3
1.1.2 La déformation
La déformation est la variation relative de longueur d’un solide lorsque ce
dernier est soumis à une action extérieure. Le tenseur des déformations, sous
l’hypothèse des Petites Perturbations est la partie symétrique du gradient du
champ de déplacement
− →
U (u x , u y , u z ).
e =
1
2
(grad
− →
U + grad
T − →
U )
Dans la base ( − → e x , − → e y , − → e z ), le tenseur symétrique du second ordre se calcule de la manière suivante :
e =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
e xx e xy e xz
e yx e yy e yz
e zx e zy e zz
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
∂ux
∂x
1
2 (
∂ux
∂ y +
∂u y
∂x )
1
2 (
∂ux
∂z +
∂uz
∂x )
1
2 (
∂ux
∂ y +
∂u y
∂x )
∂u y
∂ y
1
2 (
∂u y
∂z +
∂uz
∂ y )
1
2 (
∂ux
∂z +
∂uz
∂x )
1
2 (
∂u y
∂z +
∂uz
∂ y )
∂uz
∂z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦