5.5 Poutre sur appui élastique continu
117
B. On obtient un système de 4 équations à 4 inconnues P A , C A , P B , C B à
résoudre :
P A + P B Z(l) − C A l + C B lW(l) − 2V A = 0
P A Z(l) + P B − C A lW(l) + C B l + 2V B = 0
P A + P B Y(l) − 2C A l − 2C B lZ(l) + 4lM A = 0
P A Y(l) + P B + 2C A lZ(l) + 2C B l + 4M B = 0
(5.45)
On obtient alors pour la poutre finie de longueur l :
y
(x) = y
1 (x) +
P A l
2
kb
X (x) +
C A l
3
kb
Y(x) −
P B l
2
kb
X (l − x) +
C B l
3
kb
Y(l − x)
y(x) = y 1 (x) +
P A l
2kb
W(x) +
C A l
2
kb
X (x) +
P B l
2kb
W(l − x) −
C B l
2
kb
X (l − x)
M(x) = M 1 (x) +
P A
4l
Y(x) +
C A
2
Z(x) +
P B
4l
Y(l − x) −
C B
2
Z(l − x)
V (x) = V 1 (x) +
P A
2
Z(x) −
C A l
2
W(x) −
P B
2
Z(l − x) −
C B l
2
W(l − x)
(5.46)
avec y
1 , y 1 , M 1 et V 1 les solutions obtenues pour la poutre infinie soumise
au même chargement extérieur F ext avec l’abscisse x mesurée à partir de A.
a) Cas particulier d’un chargement symétrique par rapport
au milieu de la poutre AB
La symétrie entraîne V B = −V A , M B = M A , P B = P A et C B = −C A . Le
système précédent de 4 équations à 4 inconnues devient un système de deux
équations à deux inconnues P A et C A :
P A [1 + Z(l)] − C A l[1 + W(l)] − 2V A = 0
P A [1 + Y(l)] − 2C A l[1 − Z(l)] + 4lM A = 0
(5.47)
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