5.5 Poutre sur appui élastique continu
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Si y désigne la flèche de la poutre au point d’abscisse x, la réaction d’appui en ce point est équivalente à une densité d’effort r :
r = −kby
(5.36)
où b est la largeur de la poutre supposée constante, k est la raideur de l’appui
élastique. Si q(x) est la charge répartie appliquée à la poutre, la flèche doit
satisfaire l’équation différentielle d’équilibre suivante :
E I
d
4 y
dx 4 + kby + q(x) = 0
(5.37)
Pour résoudre cette équation, on pose :
1
l e
=
4
kb
4E I
= l
(5.38)
La longueur l e est appelée longueur élastique de la poutre. Les solutions
y(x), y
(x), M(x) et V (x) font intervenir des fonctions W(x), X (x), Y(x) et
Z(x) suivantes :
pour x > 0 :
W(x) = −e
−lx (cos(lx) + sin(lx))
X (x) = e
−lx sin(lx)
Y(x) = e
−lx (cos(lx) − sin(lx))
Z(x) = −e
−lx cos(lx)
(5.39)
pour x < 0 :
W(x) = −e
lx (cos(lx) − sin(lx))
X (x) = e
lx sin(lx)
Y(x) = e
lx (cos(lx) + sin(lx))
Z(x) = e
lx cos(lx)
(5.40)
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