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1 • Théorie des poutres
solide, défini par un plan de coupure orienté par le vecteur normal sortant
au solide − → n .
M
− → n
− →
F
− →
C
− →
T (M, − → n )
Figure 1.1
En chaque point M de la surface de coupure, il faut remplacer la partie du solide manquant par une densité surfacique d’effort sur la coupure
représentant l’action de ce dernier sur le solide isolé. Cette densité d’effort,
définie localement en un point M et orientée par une normale sortante − → n
est appelée le vecteur contrainte
− →
T (M, −
→ n ). Le vecteur contrainte dépend
linéairement du vecteur unitaire − → n . Il existe donc localement un opérateur
linéaire reliant le vecteur contrainte sur un plan à sa normale, c’est le tenseur
des contraintes s, symétrique du second ordre. Il vient ainsi,
−
→
T (M, − → n ) = s(M). − → n
La matrice du tenseur des contraintes, relative à la base ( − → e x , − → e y , − → e z )
prend la forme suivante :
s =
⎡
⎣
s xx s xy s xz
s yx s yy s yz
s zx s zy s zz
⎤
⎦
Il est usuel de représenter graphiquement le tenseur des contraintes dans le
plan de Mohr, permettant de séparer les contraintes normales des contraintes
de cisaillement. Si on désigne par t la contrainte de cisaillement (portée par
un vecteur
− →
t ) et s n la contrainte normale, on peut décomposer le vecteur
contrainte en deux contributions :
− →
T (M, − → n ) = s n
− → n + t
− →
t
1 • Théorie des poutres
solide, défini par un plan de coupure orienté par le vecteur normal sortant
au solide − → n .
M
− → n
− →
F
− →
C
− →
T (M, − → n )
Figure 1.1
En chaque point M de la surface de coupure, il faut remplacer la partie du solide manquant par une densité surfacique d’effort sur la coupure
représentant l’action de ce dernier sur le solide isolé. Cette densité d’effort,
définie localement en un point M et orientée par une normale sortante − → n
est appelée le vecteur contrainte
− →
T (M, −
→ n ). Le vecteur contrainte dépend
linéairement du vecteur unitaire − → n . Il existe donc localement un opérateur
linéaire reliant le vecteur contrainte sur un plan à sa normale, c’est le tenseur
des contraintes s, symétrique du second ordre. Il vient ainsi,
−
→
T (M, − → n ) = s(M). − → n
La matrice du tenseur des contraintes, relative à la base ( − → e x , − → e y , − → e z )
prend la forme suivante :
s =
⎡
⎣
s xx s xy s xz
s yx s yy s yz
s zx s zy s zz
⎤
⎦
Il est usuel de représenter graphiquement le tenseur des contraintes dans le
plan de Mohr, permettant de séparer les contraintes normales des contraintes
de cisaillement. Si on désigne par t la contrainte de cisaillement (portée par
un vecteur
− →
t ) et s n la contrainte normale, on peut décomposer le vecteur
contrainte en deux contributions :
− →
T (M, − → n ) = s n
− → n + t
− →
t