602 Higher Engineering Mathematics
(i) L
d 2 y
dx 2
− 3L
dy
dx
= L{9}
Hence [s
2
L{y} − sy(0) − y
(0)]
−3[sL{y} − y(0)] =
9
s
(ii) y(0) = 0 and y (0) = 0
Hence s
2
L{y} − 3sL{y} =
9
s
(iii) Rearranging gives:
(s
2
− 3s)L{y} =
9
s
i.e. L{y} =
9
s(s 2 − 3s)
=
9
s 2 (s − 3)
(iv) y = L −1
9
s 2 (s − 3)
9
s 2 (s − 3)
≡
A
s
+
B
s 2 +
C
s − 3
≡
A(s)(s − 3) + B(s − 3) + Cs 2
s 2 (s − 3)
Hence 9 ≡ A(s)(s − 3) + B(s − 3) + Cs 2 .
When s = 0, 9 =−3B, from which, B =−3.
When s = 3, 9 =9C, from which, C = 1.
Equating s 2 terms gives: 0 = A + C, from which,
A = −1, since C = 1. Hence,
L
−1
9
s 2 (s − 3)
= L
−1
−
1
s
−
3
s 2 +
1
s − 3
= −1 − 3x + e
3x
, from (i),
(vi) and (iii) of Table 63.1.
i.e. y = e 3x − 3x −1
Problem 4. Use Laplace transforms to solve the
differential equation:
d 2 y
dx 2 − 7
dy
dx
+ 10y = e 2x + 20, given that when
x = 0, y = 0 and
dy
dx
= −
1
3
Using the procedure:
(i) L
d 2 y
dx 2
− 7L
dy
dx
+ 10L{y} =L{ e 2x + 20}
Hence [s
2
L{y} − sy(0) − y
(0)] − 7[sL{y}
− y(0)] + 10L{y} =
1
s − 2
+
20
s
(ii) y(0) = 0 and y
(0) = −
1
3
Hence s
2
L{y} − 0 −
−
1
3
− 7sL{y} + 0
+ 10L{y} =
21s − 40
s(s − 2)
(iii) (s 2 − 7s + 10)L{y} =
21s − 40
s(s − 2)
−
1
3
=
3(21s − 40) − s(s − 2)
3s(s − 2)
=
−s 2 + 65s − 120
3s(s − 2)
Hence L{y} =
−s 2 + 65s − 120
3s(s − 2)(s 2 − 7s + 10)
=
1
3
−s 2 + 65s − 120
s(s − 2)(s − 2)(s − 5)
=
1
3
−s 2 + 65s − 120
s(s − 5)(s − 2) 2
(iv) y =
1
3
L −1
−s 2 + 65s − 120
s(s − 5)(s − 2) 2
−s 2 + 65s − 120
s(s − 5)(s − 2) 2
≡
A
s
+
B
s − 5
+
C
s − 2
+
D
(s − 2) 2
≡
A(s − 5)(s − 2) 2 + B(s)(s − 2) 2
+ C(s)(s − 5)(s − 2) + D(s)(s − 5)
s(s − 5)(s − 2) 2
Hence
−s 2 + 65s − 120
≡A(s − 5)(s − 2)
2
+ B(s)(s − 2)
2
+ C(s)(s − 5)(s − 2) + D(s)(s − 5)