Les variables quantitatives
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La loi binomiale étant moins connue et moins utilisée que la loi de
Laplace-Gauss, nous en donnons un autre exemple d’application : supposons qu’un traitement anticancéreux de référence soit connu pour
sa neurotoxicité : 10 % des malades traités développent une neuropathie périphérique. Supposons qu’un autre traitement, de même efficacité, ait été mis au point, et que l’on espère cet autre traitement moins
neurotoxique que le traitement de référence. Si l’on traite 50 malades
avec ce nouveau médicament, dans les mêmes conditions que le traitement de référence, et qu’il n’apparaît aucun cas de neurotoxicité, il
convient d’interpréter ce résultat. C’est ce que permet la loi binomiale.
En effet, le nombre de cas de neuropathie peut être décrit par une
variable aléatoire X qui suit une loi binomiale, car on compte le nombre
de malades qui n’ont pas eu de neuropathies (k), et ceux qui auraient eu
une neuropathie (n – k), zéro dans notre exemple, chaque malade ayant
la même probabilité (p) d’avoir une neuropathie. On peut, grâce à la loi
binomiale, calculer la probabilité que l’on aurait eue, avec l’anticancéreux de référence, d’observer sur 50 malades (n), k cas de neuropathie.
Cette probabilité s’écrit on l’a vu (tableau VI), P(X = k) = C
k
n
u p
k
u q
n
où k est le nombre de cas observés (zéro dans notre exemple).
Le calcul donne :
p(X = 0) = C
0
50
. 0,1
0 . 0,9
50 , soit 0,005.
Autrement dit, avec le traitement de référence, il n’y avait que cinq
chances sur 1 000 de n’observer aucune neuropathie sur les 50 malades
traités. On pourra donc penser que le nouveau traitement ne donne
pas autant de neuropathies que le traitement de référence. Comme on
le verra, on a en fait bâti ici un test statistique non paramétrique exact,
dont on reverra les principes ultérieurement (cf. page 84).
Lorsque la taille d’une population dans laquelle on mesure une variable
quantitative discontinue est suffisante (en pratique dès que np et nq
sont > 5), on peut faire l’approximation que la distribution se rapproche d’une loi normale et la probabilité en est grande, ce qui simplifie les calculs et permet d’utiliser des tests paramétriques (cf. page 84)
dans les comparaisons.
La loi de Poisson
La loi de Poisson est, elle aussi, utilisée pour des variables discrètes.
Son application la plus courante est l’approximation de la loi binomiale
lorsque les événements sont rares et l’échantillon suffisamment grand.
La formule générale en est :
(
)
!
k
p X k
e
k
O
O
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La loi binomiale étant moins connue et moins utilisée que la loi de
Laplace-Gauss, nous en donnons un autre exemple d’application : supposons qu’un traitement anticancéreux de référence soit connu pour
sa neurotoxicité : 10 % des malades traités développent une neuropathie périphérique. Supposons qu’un autre traitement, de même efficacité, ait été mis au point, et que l’on espère cet autre traitement moins
neurotoxique que le traitement de référence. Si l’on traite 50 malades
avec ce nouveau médicament, dans les mêmes conditions que le traitement de référence, et qu’il n’apparaît aucun cas de neurotoxicité, il
convient d’interpréter ce résultat. C’est ce que permet la loi binomiale.
En effet, le nombre de cas de neuropathie peut être décrit par une
variable aléatoire X qui suit une loi binomiale, car on compte le nombre
de malades qui n’ont pas eu de neuropathies (k), et ceux qui auraient eu
une neuropathie (n – k), zéro dans notre exemple, chaque malade ayant
la même probabilité (p) d’avoir une neuropathie. On peut, grâce à la loi
binomiale, calculer la probabilité que l’on aurait eue, avec l’anticancéreux de référence, d’observer sur 50 malades (n), k cas de neuropathie.
Cette probabilité s’écrit on l’a vu (tableau VI), P(X = k) = C
k
n
u p
k
u q
n
où k est le nombre de cas observés (zéro dans notre exemple).
Le calcul donne :
p(X = 0) = C
0
50
. 0,1
0 . 0,9
50 , soit 0,005.
Autrement dit, avec le traitement de référence, il n’y avait que cinq
chances sur 1 000 de n’observer aucune neuropathie sur les 50 malades
traités. On pourra donc penser que le nouveau traitement ne donne
pas autant de neuropathies que le traitement de référence. Comme on
le verra, on a en fait bâti ici un test statistique non paramétrique exact,
dont on reverra les principes ultérieurement (cf. page 84).
Lorsque la taille d’une population dans laquelle on mesure une variable
quantitative discontinue est suffisante (en pratique dès que np et nq
sont > 5), on peut faire l’approximation que la distribution se rapproche d’une loi normale et la probabilité en est grande, ce qui simplifie les calculs et permet d’utiliser des tests paramétriques (cf. page 84)
dans les comparaisons.
La loi de Poisson
La loi de Poisson est, elle aussi, utilisée pour des variables discrètes.
Son application la plus courante est l’approximation de la loi binomiale
lorsque les événements sont rares et l’échantillon suffisamment grand.
La formule générale en est :
(
)
!
k
p X k
e
k
O
O