6. Principe d’un test statistique
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La règle de rejet ou de non-rejet d’une hypothèse nulle doit être ainsi définie de façon à ce que si l’hypothèse nulle était vraie (on dira parfois : sous
l’hypothèse nulle), il y aurait une probabilité de 5 % de la rejeter à tort. Cela
veut dire que si H 0 était vraie et si on répétait l’expérience (l’échantillonnage)
100 fois, on ne rejetterait H 0 que 5 fois (en moyenne). On aura ainsi :
α = seuil du test = probabilité de rejeter H 0 alors que H 0 est vraie = 5 %.
Lorsque l’on effectue un test statistique, on ne choisit pas par contre la
valeur de β. On verra au chapitre 10 comment on peut calculer β, qui dépendra
à la fois de la taille de l’échantillon et du « degré de fausseté » de H 0 . La quantité
1 − β est par ailleurs appelée la puissance du test, qui est donc une mesure de
la capacité du test à rejeter à raison une hypothèse nulle qui est fausse.
En résumé, dans un test statistique, on contrôle α mais on ne contrôle pas
β, qui pourra être dans certains cas considérablement plus grand que α. En
choisissant α petit, on s’assure contre une erreur de première espèce, mais on
n’a aucune garantie contre une erreur de seconde espèce. En fait, on considère
implicitement qu’il est plus grave de commettre une erreur de première espèce
que de commettre une erreur de seconde espèce.
En général, on se montrera donc plus prudent dans nos conclusions dans le
cas d’un non-rejet d’une hypothèse nulle (car on pourrait commette une erreur
de seconde espèce qui n’est pas contrôlée), que dans le cas d’un rejet d’une
hypothèse nulle (car l’erreur de première espèce que l’on pourrait commettre
est contrôlée). Pour cette même raison, nous éviterons dans ce texte l’expression
« accepter une hypothèse nulle », que l’on retrouve dans certains ouvrages en
lieu et place de l’expression « ne pas rejeter une hypothèse nulle » que nous
adoptons
2 .
6.3 Concept de valeur p
On a mentionné que choisir α = 0 impliquerait de ne jamais rejeter une
hypothèse nulle (de façon à n’avoir aucune chance de commettre une erreur de
première espèce si H 0 était vraie). À l’autre extrême, choisir α = 1 reviendrait à
2 On fait parfois un parallèle avec la justice, où l’on considère qu’il est plus grave de
condamner un innocent que de ne pas condamner un coupable. Dans le contexte d’un test
statistique, l’hypothèse nulle est l’accusée et les données sont des preuves potentielles contre
l’accusée. Si ces preuves sont suffisamment convaincantes, on condamne H 0 (on rejette H 0 ).
Si ces preuves ne sont pas suffisamment convaincantes, on ne condamne pas H 0 . Cependant,
des preuves contre l’accusée ne peuvent pas être utilisées pour prouver son innocence, et
c’est pourquoi on préfère dire dans ce cas « on ne rejette pas H 0 » plutôt que de dire « on
accepte H 0 ». Une hypothèse nulle non rejetée est en quelque sorte une accusée en sursis.
Peut-être va-t-on bientôt récolter de nouvelles données qui condamneront l’hypothèse nulle.
En attendant, on lui accorde le bénéfice du doute.
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La règle de rejet ou de non-rejet d’une hypothèse nulle doit être ainsi définie de façon à ce que si l’hypothèse nulle était vraie (on dira parfois : sous
l’hypothèse nulle), il y aurait une probabilité de 5 % de la rejeter à tort. Cela
veut dire que si H 0 était vraie et si on répétait l’expérience (l’échantillonnage)
100 fois, on ne rejetterait H 0 que 5 fois (en moyenne). On aura ainsi :
α = seuil du test = probabilité de rejeter H 0 alors que H 0 est vraie = 5 %.
Lorsque l’on effectue un test statistique, on ne choisit pas par contre la
valeur de β. On verra au chapitre 10 comment on peut calculer β, qui dépendra
à la fois de la taille de l’échantillon et du « degré de fausseté » de H 0 . La quantité
1 − β est par ailleurs appelée la puissance du test, qui est donc une mesure de
la capacité du test à rejeter à raison une hypothèse nulle qui est fausse.
En résumé, dans un test statistique, on contrôle α mais on ne contrôle pas
β, qui pourra être dans certains cas considérablement plus grand que α. En
choisissant α petit, on s’assure contre une erreur de première espèce, mais on
n’a aucune garantie contre une erreur de seconde espèce. En fait, on considère
implicitement qu’il est plus grave de commettre une erreur de première espèce
que de commettre une erreur de seconde espèce.
En général, on se montrera donc plus prudent dans nos conclusions dans le
cas d’un non-rejet d’une hypothèse nulle (car on pourrait commette une erreur
de seconde espèce qui n’est pas contrôlée), que dans le cas d’un rejet d’une
hypothèse nulle (car l’erreur de première espèce que l’on pourrait commettre
est contrôlée). Pour cette même raison, nous éviterons dans ce texte l’expression
« accepter une hypothèse nulle », que l’on retrouve dans certains ouvrages en
lieu et place de l’expression « ne pas rejeter une hypothèse nulle » que nous
adoptons
2 .
6.3 Concept de valeur p
On a mentionné que choisir α = 0 impliquerait de ne jamais rejeter une
hypothèse nulle (de façon à n’avoir aucune chance de commettre une erreur de
première espèce si H 0 était vraie). À l’autre extrême, choisir α = 1 reviendrait à
2 On fait parfois un parallèle avec la justice, où l’on considère qu’il est plus grave de
condamner un innocent que de ne pas condamner un coupable. Dans le contexte d’un test
statistique, l’hypothèse nulle est l’accusée et les données sont des preuves potentielles contre
l’accusée. Si ces preuves sont suffisamment convaincantes, on condamne H 0 (on rejette H 0 ).
Si ces preuves ne sont pas suffisamment convaincantes, on ne condamne pas H 0 . Cependant,
des preuves contre l’accusée ne peuvent pas être utilisées pour prouver son innocence, et
c’est pourquoi on préfère dire dans ce cas « on ne rejette pas H 0 » plutôt que de dire « on
accepte H 0 ». Une hypothèse nulle non rejetée est en quelque sorte une accusée en sursis.
Peut-être va-t-on bientôt récolter de nouvelles données qui condamneront l’hypothèse nulle.
En attendant, on lui accorde le bénéfice du doute.