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Statistique appliquée aux sciences de la vie
En d’autres termes, afin de démontrer que le niveau nutritif a un effet sur la
croissance des Onobrychis, on essaiera de démontrer qu’il n’est pas possible
qu’il n’en ait pas. On recherche en quelque sorte une preuve par l’absurde. On
part du contraire de ce que l’on veut démontrer (l’hypothèse nulle) et on essaie
d’aboutir à une contradiction entre l’hypothèse nulle et les données, afin de
pouvoir conclure ce que l’on veut démontrer (l’hypothèse alternative). Telle est
la stratégie d’un test statistique.
6.2 Erreurs de première et de seconde espèce
Le résultat d’un test statistique est donc le rejet ou le non-rejet d’une hypothèse nulle H 0 . Ceci peut nous mener à deux types d’erreur : rejeter H 0 alors
qu’elle est vraie ou ne pas rejeter H 0 alors qu’elle est fausse. On appelle ces erreurs respectivement l’erreur de première espèce et l’erreur de seconde espèce.
Notons que lorsque l’on rejette H 0 , la seule erreur que l’on peut commettre
est une erreur de première espèce, alors que lorsque l’on ne rejette pas H 0 , la
seule erreur que l’on peut commettre est une erreur de seconde espèce. On peut
résumer la situation dans le tableau suivant :
rejeter H 0
ne pas rejeter H 0
H 0 vraie erreur de première espèce
bonne décision
H 0 fausse
bonne décision
erreur de seconde espèce
Évidemment, on ne pourra pas commettre une erreur de première espèce
si H 0 est fausse, de même que l’on ne pourra pas commettre une erreur de
seconde espèce si H 0 est vraie. Si H 0 est vraie, on note par α la probabilité
de commettre une erreur de première espèce. Si H 0 est fausse, on note par β
la probabilité de commettre une erreur de seconde espèce. On peut résumer la
situation dans le tableau suivant :
probabilité de rejeter H 0 probabilité de ne pas rejeter H 0
H 0 vraie
α
1 − α
H 0 fausse
1 − β
β
Lorsque l’on effectue un test statistique, on pourra choisir la valeur de α, que
l’on appellera aussi le seuil du test. On dira que l’on rejette ou que l’on ne rejette
pas une hypothèse nulle au seuil α. Évidemment, on aimerait que α soit le plus
petit possible. Il y a cependant un conflit entre α et β. En choisissant α trop
petit, on risque d’augmenter considérablement β. Le cas extrême consisterait à
choisir α = 0, ce qui reviendrait à ne jamais rejeter H 0 (quelles que soient les
données observées) et impliquerait alors β = 1. Il s’agit dès lors d’adopter un
compromis, et ce compromis est en général fixé à α = 5 % (selon une convention
arbitraire mais souvent raisonnable et largement établie)
1 .
1 On verra par ailleurs que le choix de fixer le seuil d’un test à 5 % est lié au choix de fixer
le niveau d’un intervalle de confiance à 95 %.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
En d’autres termes, afin de démontrer que le niveau nutritif a un effet sur la
croissance des Onobrychis, on essaiera de démontrer qu’il n’est pas possible
qu’il n’en ait pas. On recherche en quelque sorte une preuve par l’absurde. On
part du contraire de ce que l’on veut démontrer (l’hypothèse nulle) et on essaie
d’aboutir à une contradiction entre l’hypothèse nulle et les données, afin de
pouvoir conclure ce que l’on veut démontrer (l’hypothèse alternative). Telle est
la stratégie d’un test statistique.
6.2 Erreurs de première et de seconde espèce
Le résultat d’un test statistique est donc le rejet ou le non-rejet d’une hypothèse nulle H 0 . Ceci peut nous mener à deux types d’erreur : rejeter H 0 alors
qu’elle est vraie ou ne pas rejeter H 0 alors qu’elle est fausse. On appelle ces erreurs respectivement l’erreur de première espèce et l’erreur de seconde espèce.
Notons que lorsque l’on rejette H 0 , la seule erreur que l’on peut commettre
est une erreur de première espèce, alors que lorsque l’on ne rejette pas H 0 , la
seule erreur que l’on peut commettre est une erreur de seconde espèce. On peut
résumer la situation dans le tableau suivant :
rejeter H 0
ne pas rejeter H 0
H 0 vraie erreur de première espèce
bonne décision
H 0 fausse
bonne décision
erreur de seconde espèce
Évidemment, on ne pourra pas commettre une erreur de première espèce
si H 0 est fausse, de même que l’on ne pourra pas commettre une erreur de
seconde espèce si H 0 est vraie. Si H 0 est vraie, on note par α la probabilité
de commettre une erreur de première espèce. Si H 0 est fausse, on note par β
la probabilité de commettre une erreur de seconde espèce. On peut résumer la
situation dans le tableau suivant :
probabilité de rejeter H 0 probabilité de ne pas rejeter H 0
H 0 vraie
α
1 − α
H 0 fausse
1 − β
β
Lorsque l’on effectue un test statistique, on pourra choisir la valeur de α, que
l’on appellera aussi le seuil du test. On dira que l’on rejette ou que l’on ne rejette
pas une hypothèse nulle au seuil α. Évidemment, on aimerait que α soit le plus
petit possible. Il y a cependant un conflit entre α et β. En choisissant α trop
petit, on risque d’augmenter considérablement β. Le cas extrême consisterait à
choisir α = 0, ce qui reviendrait à ne jamais rejeter H 0 (quelles que soient les
données observées) et impliquerait alors β = 1. Il s’agit dès lors d’adopter un
compromis, et ce compromis est en général fixé à α = 5 % (selon une convention
arbitraire mais souvent raisonnable et largement établie)
1 .
1 On verra par ailleurs que le choix de fixer le seuil d’un test à 5 % est lié au choix de fixer
le niveau d’un intervalle de confiance à 95 %.