5. Comparaison de deux distributions
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est capable de dire que ces différences sont certainement importantes « cliniquement ». On notera aussi que le concept de différence de moyenne standardisée
nous permet ici de comparer deux résultats qui seraient sinon difficiles à comparer : on peut dire que l’« effet » de la maladie sur le taux de créatine (1.52
écart type) est en un sens moins important que l’effet du niveau nutritif sur la
croissance d’un Onobrychis (2.14 écarts types)
7 .
5.8 Quotient de variance
Lorsque la distribution des observations est normale dans les deux populations, on pourra également faire de l’inférence sur le quotient des variances
σ
2
1 /σ
2
0 . On connaît en effet mathématiquement la distribution de la variable
aléatoire :
˜
σ
2
1 /σ
2
1
˜
σ 2
0 /σ 2
0
que l’on appelle distribution de Fisher (ou distribution F ). Il s’agit d’une famille
de distributions asymétriques avec valeurs possibles positives, indexée par deux
paramètres, appelés parfois degrés de liberté au numérateur et degrés de liberté
au dénominateur, que nous noterons par dln et dld. Pour la variable aléatoire
ci-dessus, on aura dln = n 1 − 1 et dld = n 0 − 1. ll est important de noter que
les résultats vus dans cette section ne sont pas valables sans l’hypothèse de
normalité des distributions, même avec de grands échantillons.
La figure 5.5 nous montre des exemples de distributions F . Dans ce texte, on
notera par F α,dln,dld le quantile α d’une distribution F avec paramètres dln et
dld. Le tableau A.4 donné an annexe nous en donne quelques-uns. Au besoin, un
logiciel statistique nous donnera n’importe quel quantile de ces distributions
8 .
On aura ainsi :
Pr
F α/2,n1−1,n0−1 ≤
˜
σ
2
1 /σ
2
1
˜
σ 2
0 /σ 2
0
≤ F 1−α/2,n1−1,n0−1
= 1 − α.
En manipulant ces inéquations de manière à ce que le paramètre d’intérêt σ
2
1 /σ
2
0
se retrouve au milieu, on obtient :
Pr
˜
σ
2
1 /˜ σ
2
0
F 1−α/2,n1−1,n0−1
≤ σ
2
1 /σ
2
0 ≤
˜
σ
2
1 /˜ σ
2
0
F α/2,n1−1,n0−1
= 1 − α.
Un intervalle de confiance au niveau 1 − α pour le quotient des variances σ
2
1 /σ
2
0
est ainsi calculé par :
˜
σ
2
1 /˜ σ
2
0
F 1−α/2,n1−1,n0−1
;
˜
σ
2
1 /˜ σ
2
0
F α/2,n1−1,n0−1
.
7 On admettra volontiers que cette comparaison particulière n’intéressera pas grand monde,
mais il y aura des cas où il sera scientifiquement intéressant de pouvoir comparer des résultats
a priori incomparables. Par exemple : est-ce que l’effet du dopage est plus important en
cyclisme ou en athlétisme ? Sur un sprint de 100 m ou sur un marathon ?
8 Dans R, on calcule par exemple F 0.95,3,10 par la commande qf(0.95,3,10) (et on trouve
ainsi 3.71, voir le tableau A.4 donné en annexe).
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est capable de dire que ces différences sont certainement importantes « cliniquement ». On notera aussi que le concept de différence de moyenne standardisée
nous permet ici de comparer deux résultats qui seraient sinon difficiles à comparer : on peut dire que l’« effet » de la maladie sur le taux de créatine (1.52
écart type) est en un sens moins important que l’effet du niveau nutritif sur la
croissance d’un Onobrychis (2.14 écarts types)
7 .
5.8 Quotient de variance
Lorsque la distribution des observations est normale dans les deux populations, on pourra également faire de l’inférence sur le quotient des variances
σ
2
1 /σ
2
0 . On connaît en effet mathématiquement la distribution de la variable
aléatoire :
˜
σ
2
1 /σ
2
1
˜
σ 2
0 /σ 2
0
que l’on appelle distribution de Fisher (ou distribution F ). Il s’agit d’une famille
de distributions asymétriques avec valeurs possibles positives, indexée par deux
paramètres, appelés parfois degrés de liberté au numérateur et degrés de liberté
au dénominateur, que nous noterons par dln et dld. Pour la variable aléatoire
ci-dessus, on aura dln = n 1 − 1 et dld = n 0 − 1. ll est important de noter que
les résultats vus dans cette section ne sont pas valables sans l’hypothèse de
normalité des distributions, même avec de grands échantillons.
La figure 5.5 nous montre des exemples de distributions F . Dans ce texte, on
notera par F α,dln,dld le quantile α d’une distribution F avec paramètres dln et
dld. Le tableau A.4 donné an annexe nous en donne quelques-uns. Au besoin, un
logiciel statistique nous donnera n’importe quel quantile de ces distributions
8 .
On aura ainsi :
Pr
F α/2,n1−1,n0−1 ≤
˜
σ
2
1 /σ
2
1
˜
σ 2
0 /σ 2
0
≤ F 1−α/2,n1−1,n0−1
= 1 − α.
En manipulant ces inéquations de manière à ce que le paramètre d’intérêt σ
2
1 /σ
2
0
se retrouve au milieu, on obtient :
Pr
˜
σ
2
1 /˜ σ
2
0
F 1−α/2,n1−1,n0−1
≤ σ
2
1 /σ
2
0 ≤
˜
σ
2
1 /˜ σ
2
0
F α/2,n1−1,n0−1
= 1 − α.
Un intervalle de confiance au niveau 1 − α pour le quotient des variances σ
2
1 /σ
2
0
est ainsi calculé par :
˜
σ
2
1 /˜ σ
2
0
F 1−α/2,n1−1,n0−1
;
˜
σ
2
1 /˜ σ
2
0
F α/2,n1−1,n0−1
.
7 On admettra volontiers que cette comparaison particulière n’intéressera pas grand monde,
mais il y aura des cas où il sera scientifiquement intéressant de pouvoir comparer des résultats
a priori incomparables. Par exemple : est-ce que l’effet du dopage est plus important en
cyclisme ou en athlétisme ? Sur un sprint de 100 m ou sur un marathon ?
8 Dans R, on calcule par exemple F 0.95,3,10 par la commande qf(0.95,3,10) (et on trouve
ainsi 3.71, voir le tableau A.4 donné en annexe).