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Statistique appliquée aux sciences de la vie
(cet estimateur ˜
σ
2 étant une moyenne des estimateurs ˜
σ
2
1 et ˜
σ
2
0 , pondérée par
l’importance des échantillons). L’hypothèse d’une variance commune implique
par ailleurs :
SE(
Δ) =
σ 2 /n 1 + σ 2 /n 0 = σ ·
n 1 + n 0
n 1 n 0
.
Alors que la variable aléatoire :
Δ − E(
Δ)
SE(
Δ)
=
n 1 n 0
n 1 + n 0
·
Δ − Δ
σ
a une distribution normale standardisée, il se trouve que la variable aléatoire
légèrement modifiée :
n 1 n 0
n 1 + n 0
·
Δ − Δ
˜
σ
a une distribution de Student avec n 1 + n 0 − 2 dl. On calcule ainsi un intervalle
de confiance de Student au niveau 1 − α pour Δ comme suit :
Δ ± t 1−α/2,n1+n0−2 · ˜
σ ·
n 1 + n 0
n 1 n 0
.
Cet intervalle de confiance sera exact sous les hypothèses du modèle idéal. Si
on s’écarte du modèle idéal (non-normalité et/ou variances différentes), cet
intervalle de confiance sera valide pour autant que n 1 et n 0 soient à la fois
grands et proches l’un de l’autre (auquel cas, un intervalle de Student sera
proche d’un intervalle de confiance de Wald)
2 .
Exemple 5.3 Dans l’exemple des Onobrychis, où les boxplots de la figure 5.2
nous suggéraient une situation proche du modèle idéal, on a n 1 = n 0 = 60,
Δ = 9.1 cm, ˜
σ
2
1 = 21.45 cm
2 , ˜
σ
2
2 = 14.8 cm
2 et ˜
σ
2 = (21.45 + 14.8)/2 = 18.1
cm
2 . On calcule un intervalle de confiance de Student au niveau 95 % pour Δ
comme suit (en utilisant t 0.975,118 = 1.98) :
9.1 ± 1.98 ·
√
18.1 ·
60 + 60
60 · 60
= [7.6; 10.6] cm .
Cet intervalle de confiance de Student est très proche (et même identique si on
ne retient qu’une décimale dans les calculs) à l’intervalle de confiance de Wald
calculé ci-dessus (car n 1 et n 0 sont à la fois grands et proches l’un de l’autre).
2 Dans le cas n 1 = n 0 , on aura ˜
σ 2 = (˜ σ 2
1 + ˜
σ 2
0 )/2 et l’estimateur de SE( b
Δ) sera donc identique que l’on suppose une même variance ou des variances différentes dans les populations.
Cela explique pourquoi un intervalle de confiance de Student sera proche d’un intervalle de
confiance de Wald lorsque n 1 et n 0 sont à la fois grands et proches l’un de l’autre.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
(cet estimateur ˜
σ
2 étant une moyenne des estimateurs ˜
σ
2
1 et ˜
σ
2
0 , pondérée par
l’importance des échantillons). L’hypothèse d’une variance commune implique
par ailleurs :
SE(
Δ) =
σ 2 /n 1 + σ 2 /n 0 = σ ·
n 1 + n 0
n 1 n 0
.
Alors que la variable aléatoire :
Δ − E(
Δ)
SE(
Δ)
=
n 1 n 0
n 1 + n 0
·
Δ − Δ
σ
a une distribution normale standardisée, il se trouve que la variable aléatoire
légèrement modifiée :
n 1 n 0
n 1 + n 0
·
Δ − Δ
˜
σ
a une distribution de Student avec n 1 + n 0 − 2 dl. On calcule ainsi un intervalle
de confiance de Student au niveau 1 − α pour Δ comme suit :
Δ ± t 1−α/2,n1+n0−2 · ˜
σ ·
n 1 + n 0
n 1 n 0
.
Cet intervalle de confiance sera exact sous les hypothèses du modèle idéal. Si
on s’écarte du modèle idéal (non-normalité et/ou variances différentes), cet
intervalle de confiance sera valide pour autant que n 1 et n 0 soient à la fois
grands et proches l’un de l’autre (auquel cas, un intervalle de Student sera
proche d’un intervalle de confiance de Wald)
2 .
Exemple 5.3 Dans l’exemple des Onobrychis, où les boxplots de la figure 5.2
nous suggéraient une situation proche du modèle idéal, on a n 1 = n 0 = 60,
Δ = 9.1 cm, ˜
σ
2
1 = 21.45 cm
2 , ˜
σ
2
2 = 14.8 cm
2 et ˜
σ
2 = (21.45 + 14.8)/2 = 18.1
cm
2 . On calcule un intervalle de confiance de Student au niveau 95 % pour Δ
comme suit (en utilisant t 0.975,118 = 1.98) :
9.1 ± 1.98 ·
√
18.1 ·
60 + 60
60 · 60
= [7.6; 10.6] cm .
Cet intervalle de confiance de Student est très proche (et même identique si on
ne retient qu’une décimale dans les calculs) à l’intervalle de confiance de Wald
calculé ci-dessus (car n 1 et n 0 sont à la fois grands et proches l’un de l’autre).
2 Dans le cas n 1 = n 0 , on aura ˜
σ 2 = (˜ σ 2
1 + ˜
σ 2
0 )/2 et l’estimateur de SE( b
Δ) sera donc identique que l’on suppose une même variance ou des variances différentes dans les populations.
Cela explique pourquoi un intervalle de confiance de Student sera proche d’un intervalle de
confiance de Wald lorsque n 1 et n 0 sont à la fois grands et proches l’un de l’autre.