5. Comparaison de deux distributions
71
où σ
2
1 et σ
2
0 dénotent les variances des variables Y 1 et Y 0 dans les populations,
et où n 1 et n 0 dénotent les tailles des échantillons. En remplaçant les variances
σ
2
1 et σ
2
0 par leurs estimateurs ˜
σ
2
1 et ˜
σ
2
0 calculés dans ces échantillons, on obtient
un intervalle de confiance de Wald au niveau 1 − α pour Δ comme suit :
Δ ± z 1−α/2 ·
˜
σ 2
1 /n 1 + ˜
σ 2
0 /n 0 .
Cet intervalle de confiance sera valide si n 1 et n 0 sont assez grands.
Exemple 5.2 Dans l’exemple des Onobrychis, on a les résultats suivants :
•
μ 1 = 30.8 cm, ˜
σ
2
1 = 21.45 cm
2 , n 1 = 60
•
μ 0 = 21.7 cm, ˜
σ
2
0 = 14.8 cm
2 , n 0 = 60
•
Δ = 30.8 − 21.7 = 9.1 cm
• 95 % CI pour Δ :
9.1 ± 1.96 ·
21.45
60
+
14.8
60
= [7.6; 10.6] cm
→ la véritable différence de moyenne entre les deux groupes d’Onobrychis
se trouve avec une probabilité de 95 % entre 7.6 et 10.6 cm
→ on a prouvé statistiquement que l’effet du niveau nutritif sur la croissance d’un Onobrychis après six mois est au moins de 7.6 cm.
5.3 Intervalle de confiance de Student pour une
différence de moyenne
De façon analogue à ce que l’on a vu au chapitre précédent dans le cas
d’un intervalle de confiance de Wald pour une moyenne, le remplacement des
variances σ
2
1 et σ
2
0 par leurs estimateurs ˜
σ
2
1 et ˜
σ
2
0 lors du calcul d’un intervalle
de confiance de Wald pour une différence de moyenne Δ n’est pas anodin.
L’intervalle de confiance obtenu ne sera en effet pas valide avec de petits n 1 ou
n 0 . Par contre, l’intervalle de confiance de Student pour Δ que l’on introduit
ci-dessous sera exact quelles que soient les tailles d’échantillon, pour autant que
les hypothèses du modèle idéal soient satisfaites (à savoir, la normalité et une
même variance dans les deux populations). On aura alors σ
2
1 = σ
2
0 = σ
2 et on
utilisera l’estimateur sans biais suivant de cette variance commune :
˜
σ
2 =
(n 1 − 1)˜ σ
2
1 + (n 0 − 1)˜ σ
2
0
n 1 + n 0 − 2
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où σ
2
1 et σ
2
0 dénotent les variances des variables Y 1 et Y 0 dans les populations,
et où n 1 et n 0 dénotent les tailles des échantillons. En remplaçant les variances
σ
2
1 et σ
2
0 par leurs estimateurs ˜
σ
2
1 et ˜
σ
2
0 calculés dans ces échantillons, on obtient
un intervalle de confiance de Wald au niveau 1 − α pour Δ comme suit :
Δ ± z 1−α/2 ·
˜
σ 2
1 /n 1 + ˜
σ 2
0 /n 0 .
Cet intervalle de confiance sera valide si n 1 et n 0 sont assez grands.
Exemple 5.2 Dans l’exemple des Onobrychis, on a les résultats suivants :
•
μ 1 = 30.8 cm, ˜
σ
2
1 = 21.45 cm
2 , n 1 = 60
•
μ 0 = 21.7 cm, ˜
σ
2
0 = 14.8 cm
2 , n 0 = 60
•
Δ = 30.8 − 21.7 = 9.1 cm
• 95 % CI pour Δ :
9.1 ± 1.96 ·
21.45
60
+
14.8
60
= [7.6; 10.6] cm
→ la véritable différence de moyenne entre les deux groupes d’Onobrychis
se trouve avec une probabilité de 95 % entre 7.6 et 10.6 cm
→ on a prouvé statistiquement que l’effet du niveau nutritif sur la croissance d’un Onobrychis après six mois est au moins de 7.6 cm.
5.3 Intervalle de confiance de Student pour une
différence de moyenne
De façon analogue à ce que l’on a vu au chapitre précédent dans le cas
d’un intervalle de confiance de Wald pour une moyenne, le remplacement des
variances σ
2
1 et σ
2
0 par leurs estimateurs ˜
σ
2
1 et ˜
σ
2
0 lors du calcul d’un intervalle
de confiance de Wald pour une différence de moyenne Δ n’est pas anodin.
L’intervalle de confiance obtenu ne sera en effet pas valide avec de petits n 1 ou
n 0 . Par contre, l’intervalle de confiance de Student pour Δ que l’on introduit
ci-dessous sera exact quelles que soient les tailles d’échantillon, pour autant que
les hypothèses du modèle idéal soient satisfaites (à savoir, la normalité et une
même variance dans les deux populations). On aura alors σ
2
1 = σ
2
0 = σ
2 et on
utilisera l’estimateur sans biais suivant de cette variance commune :
˜
σ
2 =
(n 1 − 1)˜ σ
2
1 + (n 0 − 1)˜ σ
2
0
n 1 + n 0 − 2