5. Comparaison de deux distributions
73
5.4 Intervalle de confiance de Welch pour une
différence de moyenne
On va voir à présent une troisième méthode pour calculer un intervalle de
confiance pour Δ, à savoir la méthode de Welch qui combine les idées de Wald
et de Student. L’idée est d’utiliser la formule de Wald mais avec des quantiles
d’une distribution de Student (plutôt que des quantiles d’une distribution normale standardisée). Un intervalle de confiance de Welch au niveau 1 − α pour
Δ se calcule en effet comme suit
3 :
Δ ± t 1−α/2,dl ·
˜
σ 2
1 /n 1 + ˜
σ 2
0 /n 0
où le nombre dl de degrés de liberté est ici défini par :
dl =
˜
σ
2
1
n1 +
˜
σ
2
0
n0
2
˜
σ 4
1
n 2
1 (n1−1)
+
˜
σ 4
0
n 2
0 (n0−1)
.
Avec de grands n 1 et n 0 , on aura également un grand dl (on a dl ≈ 114 dans
l’exemple des Onobrychis), de sorte que la méthode de Welch sera proche de
la méthode de Wald. Par ailleurs, dans le cas particulier ˜
σ
2
1 = ˜
σ
2
0 et n 1 = n 0 ,
on aura dl = n 1 + n 0 − 2, de sorte que la méthode de Welch coïncidera avec la
méthode de Student.
5.5 Validité des intervalles de confiance pour
différence de moyenne
La validité d’un intervalle de confiance de Welch pour une différence de
moyenne est en général supérieure à la validité d’un intervalle de confiance de
Wald, et donc la méthode de Welch est en général préférable à la méthode de
Wald. Le choix entre la méthode de Welch et celle de Student est par contre
plus délicat. Le tableau ci-dessous nous donne une idée générale de la situation
(comme d’habitude, la limite entre petits et grands échantillons dépend de la
distribution des observations ; au besoin, des simulations nous permettront de
préciser ces limites) :
normalité
non-normalité
σ
2
1 ≈ σ
2
0
σ
2
1 = σ
2
0
σ
2
1 ≈ σ
2
0
σ
2
1 = σ
2
0
n1 ou n0 petits
exact
non valide
non valide
non valide
CI Student
n1 et n0 grands, n1 = n0
exact
non valide
valide
non valide
n1 et n0 grands, n1 ≈ n0
exact
valide
valide
valide
n1 ou n0 petits
valide
valide
non valide
non valide
CI Welch
n1 et n0 grands, n1 = n0
valide
valide
valide
valide
n1 et n0 grands, n1 ≈ n0
valide
valide
valide
valide
3 Cet intervalle porte le nom de son inventeur. Voir l’article de Welch (1938).
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5.4 Intervalle de confiance de Welch pour une
différence de moyenne
On va voir à présent une troisième méthode pour calculer un intervalle de
confiance pour Δ, à savoir la méthode de Welch qui combine les idées de Wald
et de Student. L’idée est d’utiliser la formule de Wald mais avec des quantiles
d’une distribution de Student (plutôt que des quantiles d’une distribution normale standardisée). Un intervalle de confiance de Welch au niveau 1 − α pour
Δ se calcule en effet comme suit
3 :
Δ ± t 1−α/2,dl ·
˜
σ 2
1 /n 1 + ˜
σ 2
0 /n 0
où le nombre dl de degrés de liberté est ici défini par :
dl =
˜
σ
2
1
n1 +
˜
σ
2
0
n0
2
˜
σ 4
1
n 2
1 (n1−1)
+
˜
σ 4
0
n 2
0 (n0−1)
.
Avec de grands n 1 et n 0 , on aura également un grand dl (on a dl ≈ 114 dans
l’exemple des Onobrychis), de sorte que la méthode de Welch sera proche de
la méthode de Wald. Par ailleurs, dans le cas particulier ˜
σ
2
1 = ˜
σ
2
0 et n 1 = n 0 ,
on aura dl = n 1 + n 0 − 2, de sorte que la méthode de Welch coïncidera avec la
méthode de Student.
5.5 Validité des intervalles de confiance pour
différence de moyenne
La validité d’un intervalle de confiance de Welch pour une différence de
moyenne est en général supérieure à la validité d’un intervalle de confiance de
Wald, et donc la méthode de Welch est en général préférable à la méthode de
Wald. Le choix entre la méthode de Welch et celle de Student est par contre
plus délicat. Le tableau ci-dessous nous donne une idée générale de la situation
(comme d’habitude, la limite entre petits et grands échantillons dépend de la
distribution des observations ; au besoin, des simulations nous permettront de
préciser ces limites) :
normalité
non-normalité
σ
2
1 ≈ σ
2
0
σ
2
1 = σ
2
0
σ
2
1 ≈ σ
2
0
σ
2
1 = σ
2
0
n1 ou n0 petits
exact
non valide
non valide
non valide
CI Student
n1 et n0 grands, n1 = n0
exact
non valide
valide
non valide
n1 et n0 grands, n1 ≈ n0
exact
valide
valide
valide
n1 ou n0 petits
valide
valide
non valide
non valide
CI Welch
n1 et n0 grands, n1 = n0
valide
valide
valide
valide
n1 et n0 grands, n1 ≈ n0
valide
valide
valide
valide
3 Cet intervalle porte le nom de son inventeur. Voir l’article de Welch (1938).