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Statistique appliquée aux sciences de la vie
• Y 1 : hauteur après six mois dans une population d’Onobrychis cultivés
avec un niveau nutritif élevé
• Y 0 : hauteur après six mois dans une population d’Onobrychis cultivés
avec un niveau nutritif faible.
On va voir dans ce chapitre comment on peut comparer statistiquement les
distributions de ces deux variables. On abordera comme d’habitude le problème
tout d’abord du point de vue de la statistique descriptive (afin de résumer
la différence entre ces deux distributions), puis de la statistique inférentielle
(afin de généraliser aux deux populations les différences observées entre les
deux échantillons). On supposera dans tout ce chapitre que les observations des
deux échantillons sont indépendantes. En particulier, les individus du premier
échantillon ne seront pas les mêmes que les individus du second.
5.1 Différence de moyenne
On a vu au chapitre 2 que la moyenne est un paramètre couramment utilisé
pour résumer la distribution d’une variable continue. Si deux variables continues
Y 1 et Y 0 sont résumées par leurs moyennes μ 1 et μ 0 , il apparaît dès lors naturel
de comparer les distributions de ces deux variables via la différence de moyenne :
Δ = μ 1 − μ 0 .
On a vu également que l’utilisation de la moyenne pour résumer une distribution continue fait particulièrement sens pour une variable normale. On va voir
dans ce chapitre que l’utilisation de la différence de moyenne Δ pour résumer
la différence entre deux distributions continues fait particulièrement sens dans
le cas où les deux variables sont normales avec une même variance.
En effet, si les variances sont les mêmes dans un cadre normal, le paramètre
Δ ne sera pas seulement un résumé mais caractérisera la différence entre les
deux distributions. En particulier, une différence de moyenne nulle (Δ = 0)
impliquera alors forcément deux distributions identiques. On n’aura par contre
pas de telle implication si les variances sont différentes, cas pour lequel le paramètre Δ ne sera qu’un résumé imparfait et incomplet de la situation.
La figure 5.1 nous montre des situations très différentes avec pourtant une
même différence de moyenne (ici Δ = 1) entre deux distributions normales. On
voit ainsi que la différence entre les quantiles 95 % des deux distributions vaut
par exemple −0.2, 2.6 et 4.3 sur les graphiques (b), (c) et (d). Si on ne suppose
pas une variance identique pour les deux distributions, le fait d’avoir Δ = 1
ne nous informe donc en rien sur la différence entre les quantiles 95 % de ces
deux distributions, pas même sur le signe de cette différence (le raisonnement
étant le même pour un autre quantile). Si on suppose par contre une même
variance pour les deux distributions, alors une différence entre moyennes de
Δ = 1 impliquera également une différence entre quantiles de Δ = 1, comme
illustré sur le graphique (a).
Statistique appliquée aux sciences de la vie
• Y 1 : hauteur après six mois dans une population d’Onobrychis cultivés
avec un niveau nutritif élevé
• Y 0 : hauteur après six mois dans une population d’Onobrychis cultivés
avec un niveau nutritif faible.
On va voir dans ce chapitre comment on peut comparer statistiquement les
distributions de ces deux variables. On abordera comme d’habitude le problème
tout d’abord du point de vue de la statistique descriptive (afin de résumer
la différence entre ces deux distributions), puis de la statistique inférentielle
(afin de généraliser aux deux populations les différences observées entre les
deux échantillons). On supposera dans tout ce chapitre que les observations des
deux échantillons sont indépendantes. En particulier, les individus du premier
échantillon ne seront pas les mêmes que les individus du second.
5.1 Différence de moyenne
On a vu au chapitre 2 que la moyenne est un paramètre couramment utilisé
pour résumer la distribution d’une variable continue. Si deux variables continues
Y 1 et Y 0 sont résumées par leurs moyennes μ 1 et μ 0 , il apparaît dès lors naturel
de comparer les distributions de ces deux variables via la différence de moyenne :
Δ = μ 1 − μ 0 .
On a vu également que l’utilisation de la moyenne pour résumer une distribution continue fait particulièrement sens pour une variable normale. On va voir
dans ce chapitre que l’utilisation de la différence de moyenne Δ pour résumer
la différence entre deux distributions continues fait particulièrement sens dans
le cas où les deux variables sont normales avec une même variance.
En effet, si les variances sont les mêmes dans un cadre normal, le paramètre
Δ ne sera pas seulement un résumé mais caractérisera la différence entre les
deux distributions. En particulier, une différence de moyenne nulle (Δ = 0)
impliquera alors forcément deux distributions identiques. On n’aura par contre
pas de telle implication si les variances sont différentes, cas pour lequel le paramètre Δ ne sera qu’un résumé imparfait et incomplet de la situation.
La figure 5.1 nous montre des situations très différentes avec pourtant une
même différence de moyenne (ici Δ = 1) entre deux distributions normales. On
voit ainsi que la différence entre les quantiles 95 % des deux distributions vaut
par exemple −0.2, 2.6 et 4.3 sur les graphiques (b), (c) et (d). Si on ne suppose
pas une variance identique pour les deux distributions, le fait d’avoir Δ = 1
ne nous informe donc en rien sur la différence entre les quantiles 95 % de ces
deux distributions, pas même sur le signe de cette différence (le raisonnement
étant le même pour un autre quantile). Si on suppose par contre une même
variance pour les deux distributions, alors une différence entre moyennes de
Δ = 1 impliquera également une différence entre quantiles de Δ = 1, comme
illustré sur le graphique (a).