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Statistique appliquée aux sciences de la vie
π
95 % CI Wald 95 % CI Wilson 95 % CI Wald modifié
0/10 = 0
[0; 0]
[0.00; 0.28]
[−0.04; 0.33]
1/10 = 0.1
[−0.09; 0.29]
[0.02; 0.40]
[0.00; 0.43]
2/10 = 0.2
[−0.05; 0.45]
[0.07; 0.51]
[0.05; 0.52]
3/10 = 0.3
[0.02; 0.58]
[0.11; 0.60]
[0.11; 0.61]
4/10 = 0.4
[0.10; 0.70]
[0.17; 0.69]
[0.17; 0.69]
5/10 = 0.5
[0.19; 0.81]
[0.24; 0.76]
[0.24; 0.76]
6/10 = 0.6
[0.30; 0.90]
[0.31; 0.83]
[0.31; 0.83]
7/10 = 0.7
[0.42; 0.98]
[0.40; 0.89]
[0.39; 0.89]
8/10 = 0.8
[0.55; 1.05]
[0.49; 0.94]
[0.48; 0.95]
9/10 = 0.9
[0.71; 1.09]
[0.60; 0.98]
[0.57; 1.00]
10/10 = 1
[1; 1]
[0.72; 1.00]
[0.67; 1.04]
On notera que la borne inférieure de l’intervalle de confiance calculé selon
la méthode de Wald est plus petite que 0 lorsque
π = 0.1 ou 0.2, et que sa
borne supérieure est plus grande que 1 lorsque
π = 0.8 ou 0.9. Un intervalle de
confiance calculé selon la méthode de Wilson ne partage pas ces problèmes, ses
bornes étant toujours comprises entre 0 et 1.
On voit également que la solution de Wald se résume en un seul point lorsque
π = 0 ou
π = 1, suggérant à tort que l’on a prouvé statistiquement que la
véritable proportion π est de 0 %, respectivement de 100 %. Il s’agit de cas où
la solution de Wald n’est pas valide : il ne suffit pas que la proportion empirique
soit de 100 % pour pouvoir conclure statistiquement que la véritable proportion
est de 100 %. La solution de Wilson donnée par [0.72; 1.00] est ici plus crédible :
avec 10 opérations réussies sur 10 patients, on peut conclure statistiquement que
la véritable proportion de succès est au moins de 72 %.
Notons qu’un intervalle de confiance de Wilson au niveau 95 % peut se calculer approximativement en utilisant la formule de Wald, après avoir augmenté
l’échantillon de deux fois la valeur 1 et de deux fois la valeur 0. Par exemple,
dans le cas où l’échantillon original est constitué de 10 fois la valeur 1 (et de
0 fois la valeur 0), on applique la formule de Wald à un échantillon constitué
de 12 fois la valeur 1 et de 2 fois la valeur 0, c’est-à-dire à un échantillon de
n = 14 observations pour lequel on a
π = 12/14 = 0.857, et on obtient :
0.857 ± 1.96 ·
0.857 · 0.143/14 = [0.67; 1.04].
Il s’agit de la solution donnée dans la colonne « 95 % CI Wald modifié » du
tableau ci-dessus, qui est effectivement relativement proche de la solution de
Wilson. Notons que cette approximation fonctionne seulement avec un niveau
proche de 95 %
14 .
14 On pourra lire à ce sujet l’article de Agresti et Caffo (2000).
Statistique appliquée aux sciences de la vie
π
95 % CI Wald 95 % CI Wilson 95 % CI Wald modifié
0/10 = 0
[0; 0]
[0.00; 0.28]
[−0.04; 0.33]
1/10 = 0.1
[−0.09; 0.29]
[0.02; 0.40]
[0.00; 0.43]
2/10 = 0.2
[−0.05; 0.45]
[0.07; 0.51]
[0.05; 0.52]
3/10 = 0.3
[0.02; 0.58]
[0.11; 0.60]
[0.11; 0.61]
4/10 = 0.4
[0.10; 0.70]
[0.17; 0.69]
[0.17; 0.69]
5/10 = 0.5
[0.19; 0.81]
[0.24; 0.76]
[0.24; 0.76]
6/10 = 0.6
[0.30; 0.90]
[0.31; 0.83]
[0.31; 0.83]
7/10 = 0.7
[0.42; 0.98]
[0.40; 0.89]
[0.39; 0.89]
8/10 = 0.8
[0.55; 1.05]
[0.49; 0.94]
[0.48; 0.95]
9/10 = 0.9
[0.71; 1.09]
[0.60; 0.98]
[0.57; 1.00]
10/10 = 1
[1; 1]
[0.72; 1.00]
[0.67; 1.04]
On notera que la borne inférieure de l’intervalle de confiance calculé selon
la méthode de Wald est plus petite que 0 lorsque
π = 0.1 ou 0.2, et que sa
borne supérieure est plus grande que 1 lorsque
π = 0.8 ou 0.9. Un intervalle de
confiance calculé selon la méthode de Wilson ne partage pas ces problèmes, ses
bornes étant toujours comprises entre 0 et 1.
On voit également que la solution de Wald se résume en un seul point lorsque
π = 0 ou
π = 1, suggérant à tort que l’on a prouvé statistiquement que la
véritable proportion π est de 0 %, respectivement de 100 %. Il s’agit de cas où
la solution de Wald n’est pas valide : il ne suffit pas que la proportion empirique
soit de 100 % pour pouvoir conclure statistiquement que la véritable proportion
est de 100 %. La solution de Wilson donnée par [0.72; 1.00] est ici plus crédible :
avec 10 opérations réussies sur 10 patients, on peut conclure statistiquement que
la véritable proportion de succès est au moins de 72 %.
Notons qu’un intervalle de confiance de Wilson au niveau 95 % peut se calculer approximativement en utilisant la formule de Wald, après avoir augmenté
l’échantillon de deux fois la valeur 1 et de deux fois la valeur 0. Par exemple,
dans le cas où l’échantillon original est constitué de 10 fois la valeur 1 (et de
0 fois la valeur 0), on applique la formule de Wald à un échantillon constitué
de 12 fois la valeur 1 et de 2 fois la valeur 0, c’est-à-dire à un échantillon de
n = 14 observations pour lequel on a
π = 12/14 = 0.857, et on obtient :
0.857 ± 1.96 ·
0.857 · 0.143/14 = [0.67; 1.04].
Il s’agit de la solution donnée dans la colonne « 95 % CI Wald modifié » du
tableau ci-dessus, qui est effectivement relativement proche de la solution de
Wilson. Notons que cette approximation fonctionne seulement avec un niveau
proche de 95 %
14 .
14 On pourra lire à ce sujet l’article de Agresti et Caffo (2000).