4. Intervalle de confiance
65
que l’on exprime parfois en standardisant
π de la sorte :
Pr
−1.96 ≤
√
n ·
π − π
π(1 − π)
≤ 1.96
≈ 0.95.
Il se trouve que l’on peut manipuler ces inéquations de façon à ce que π se
retrouve au milieu sans qu’il soit nécessaire d’estimer l’erreur type de
π (alors
qu’on estimait cette erreur type avec la méthode de Wald). On laissera le lecteur
vérifier qu’il s’agit pour cela de résoudre une équation du deuxième degré. On
obtient de cette manière l’intervalle de confiance suivant :
π + 1.96
2 /(2n)
1 + 1.96 2 /n
±
1.96 ·
π(1 −
π) + 1.96 2 /(4n)
√
n(1 + 1.96 2 /n)
.
Il s’agit d’un intervalle de confiance de Wilson au niveau 95 % pour π. Plus
généralement, un intervalle de confiance de Wilson au niveau 1 − α pour π se
calcule comme suit
12 :
π + z
2
1−α/2 /(2n)
1 + z 2
1−α/2 /n
±
z 1−α/2 ·
π(1 −
π) + z 2
1−α/2 /(4n)
√
n(1 + z 2
1−α/2 /n)
.
Pour un grand n, un intervalle de confiance de Wilson pour π sera proche
d’un intervalle de confiance de Wald pour π. Il est à noter que ni l’un ni l’autre
ne sera exact. Ces intervalles de confiance seront cependant valides si n est
grand et si π n’est pas trop proche de 0 ou de 1. En pratique, ils seront valides
si nπ ≥ 5 et si n(1 − π) ≥ 5. Si ces conditions ne sont pas respectées, la solution
de Wilson sera en général préférable à la solution de Wald. Avec n = 10, on
peut calculer que le niveau réel d’un intervalle de confiance au niveau nominal
95 % pour π lorsque π = 0.05, 0.1, 0.15 et 0.2 sera par exemple de 40 %, 65 %,
79 % et 89 % s’il est calculé selon la méthode de Wald, et de 91 %, 93 %, 95 %
et 97 % (et donc bien plus proche du nominal 95 %) s’il est calculé selon la
méthode de Wilson
13 .
Exemple 4.8 Considérons un exemple où l’on mesure le succès d’une opération avec une variable binaire (1 = succès ; 0 = échec) pour n = 10 patients.
Il peut y avoir ainsi 0, 1, 2, · · · , 9 ou 10 opérations réussies, correspondant aux
11 valeurs possibles
π = 0, 0.1, 0.2, · · · , 0.9, 1. Les intervalles de confiance au
niveau 95 % pour la véritable proportion de succès π de cette opération calculés
selon les méthodes de Wald ou de Wilson sont donnés dans le tableau ci-dessous
pour chaque valeur possible de
π :
12 Cet intervalle porte le nom de son inventeur. Voir l’article de Wilson (1927).
13 Pourtant, au contraire d’un intervalle de confiance de Student pour une moyenne, un
intervalle de confiance de Wilson pour une proportion n’est pas très connu du grand public,
peut-être parce que les proportions sont souvent estimées à partir de grands échantillons,
pour lesquels la solution de Wald est valide. Pour de petits échantillons, la solution de Wilson
mérite cependant d’être connue. De plus, il s’agit de l’intervalle de confiance en dualité avec
le fameux test du khi-deux pour une proportion, comme on le verra au chapitre 8.
65
que l’on exprime parfois en standardisant
π de la sorte :
Pr
−1.96 ≤
√
n ·
π − π
π(1 − π)
≤ 1.96
≈ 0.95.
Il se trouve que l’on peut manipuler ces inéquations de façon à ce que π se
retrouve au milieu sans qu’il soit nécessaire d’estimer l’erreur type de
π (alors
qu’on estimait cette erreur type avec la méthode de Wald). On laissera le lecteur
vérifier qu’il s’agit pour cela de résoudre une équation du deuxième degré. On
obtient de cette manière l’intervalle de confiance suivant :
π + 1.96
2 /(2n)
1 + 1.96 2 /n
±
1.96 ·
π(1 −
π) + 1.96 2 /(4n)
√
n(1 + 1.96 2 /n)
.
Il s’agit d’un intervalle de confiance de Wilson au niveau 95 % pour π. Plus
généralement, un intervalle de confiance de Wilson au niveau 1 − α pour π se
calcule comme suit
12 :
π + z
2
1−α/2 /(2n)
1 + z 2
1−α/2 /n
±
z 1−α/2 ·
π(1 −
π) + z 2
1−α/2 /(4n)
√
n(1 + z 2
1−α/2 /n)
.
Pour un grand n, un intervalle de confiance de Wilson pour π sera proche
d’un intervalle de confiance de Wald pour π. Il est à noter que ni l’un ni l’autre
ne sera exact. Ces intervalles de confiance seront cependant valides si n est
grand et si π n’est pas trop proche de 0 ou de 1. En pratique, ils seront valides
si nπ ≥ 5 et si n(1 − π) ≥ 5. Si ces conditions ne sont pas respectées, la solution
de Wilson sera en général préférable à la solution de Wald. Avec n = 10, on
peut calculer que le niveau réel d’un intervalle de confiance au niveau nominal
95 % pour π lorsque π = 0.05, 0.1, 0.15 et 0.2 sera par exemple de 40 %, 65 %,
79 % et 89 % s’il est calculé selon la méthode de Wald, et de 91 %, 93 %, 95 %
et 97 % (et donc bien plus proche du nominal 95 %) s’il est calculé selon la
méthode de Wilson
13 .
Exemple 4.8 Considérons un exemple où l’on mesure le succès d’une opération avec une variable binaire (1 = succès ; 0 = échec) pour n = 10 patients.
Il peut y avoir ainsi 0, 1, 2, · · · , 9 ou 10 opérations réussies, correspondant aux
11 valeurs possibles
π = 0, 0.1, 0.2, · · · , 0.9, 1. Les intervalles de confiance au
niveau 95 % pour la véritable proportion de succès π de cette opération calculés
selon les méthodes de Wald ou de Wilson sont donnés dans le tableau ci-dessous
pour chaque valeur possible de
π :
12 Cet intervalle porte le nom de son inventeur. Voir l’article de Wilson (1927).
13 Pourtant, au contraire d’un intervalle de confiance de Student pour une moyenne, un
intervalle de confiance de Wilson pour une proportion n’est pas très connu du grand public,
peut-être parce que les proportions sont souvent estimées à partir de grands échantillons,
pour lesquels la solution de Wald est valide. Pour de petits échantillons, la solution de Wilson
mérite cependant d’être connue. De plus, il s’agit de l’intervalle de confiance en dualité avec
le fameux test du khi-deux pour une proportion, comme on le verra au chapitre 8.