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Statistique appliquée aux sciences de la vie
En pratique, on remplace π par son estimateur
π dans la formule de SE( π). Un
intervalle de confiance de Wald au niveau 95 % pour π se calcule donc comme
suit :
[ π − 1.96 ·
π(1 −
π)/n;
π + 1.96 ·
π(1 −
π)/n].
Plus généralement, un intervalle de confiance de Wald au niveau 1 − α pour π
se calcule somme suit :
[ π − z 1−α/2 ·
π(1 −
π)/n;
π + z 1−α/2 ·
π(1 −
π)/n].
Exemple 4.6 Reprenons l’exemple des 527 garçons parmi un total de n = 1000
nouveau-nés. On a ici une proportion empirique de garçons à la naissance de
π = 0.527. Peut-on pour autant conclure sur la base de ces données qu’il naît
statistiquement plus de garçons que de filles ? Pour répondre à cette question,
on calcule un intervalle de confiance au niveau 95 % pour la véritable proportion
π de garçons à la naissance. La solution de Wald nous donne ici :
0.527 ± 1.96 ·
0.527 · 0.473/1000 = [0.496; 0.558].
On ne peut donc pas exclure statistiquement la possibilité que la véritable proportion de garçons à la naissance soit de π = 0.5 (cette valeur se trouvant à
l’intérieur de l’intervalle de confiance).
Lors de la planification d’une étude, on choisit parfois la taille n de l’échantillon dans le but d’obtenir une estimation suffisamment précise d’une proportion π. Si on mesure la précision de cette estimation par la longueur L d’un
intervalle de confiance au niveau 95 % pour π, on aura (approximativement)
L = 4
π(1 − π)/n. Cette longueur sera maximale pour π = 0.5, égale dans ce
cas à L = 2/
√
n, ce qui nous donne n = (2/L)
2 .
Exemple 4.7 Si on désire avoir une estimation d’une proportion avec une
précision de ±0.01 (la longueur de l’intervalle de confiance pour cette proportion
étant alors de L = 0.02), il faudra inclure n = (2/0.02)
2 = 10 000 individus
dans notre échantillon. Il s’agira par exemple d’interroger n = 10 000 personnes
représentatives de la population des votants si on désire avoir une bonne chance
de savoir qui va gagner les prochaines élections entre deux candidats.
4.9 Intervalle de confiance de Wilson pour une
proportion
En reprenant le raisonnement depuis le début, on va voir qu’il est possible
d’obtenir une solution alternative pour calculer un intervalle de confiance pour
π. Comme
π est un estimateur sans biais de π, approximativement normalement
distribué et avec une erreur type de
π(1 − π)/n, on a en effet :
Pr
π − 1.96 ·
π(1 − π)/n ≤
π ≤ π + 1.96 ·
π(1 − π)/n
≈ 0.95
Statistique appliquée aux sciences de la vie
En pratique, on remplace π par son estimateur
π dans la formule de SE( π). Un
intervalle de confiance de Wald au niveau 95 % pour π se calcule donc comme
suit :
[ π − 1.96 ·
π(1 −
π)/n;
π + 1.96 ·
π(1 −
π)/n].
Plus généralement, un intervalle de confiance de Wald au niveau 1 − α pour π
se calcule somme suit :
[ π − z 1−α/2 ·
π(1 −
π)/n;
π + z 1−α/2 ·
π(1 −
π)/n].
Exemple 4.6 Reprenons l’exemple des 527 garçons parmi un total de n = 1000
nouveau-nés. On a ici une proportion empirique de garçons à la naissance de
π = 0.527. Peut-on pour autant conclure sur la base de ces données qu’il naît
statistiquement plus de garçons que de filles ? Pour répondre à cette question,
on calcule un intervalle de confiance au niveau 95 % pour la véritable proportion
π de garçons à la naissance. La solution de Wald nous donne ici :
0.527 ± 1.96 ·
0.527 · 0.473/1000 = [0.496; 0.558].
On ne peut donc pas exclure statistiquement la possibilité que la véritable proportion de garçons à la naissance soit de π = 0.5 (cette valeur se trouvant à
l’intérieur de l’intervalle de confiance).
Lors de la planification d’une étude, on choisit parfois la taille n de l’échantillon dans le but d’obtenir une estimation suffisamment précise d’une proportion π. Si on mesure la précision de cette estimation par la longueur L d’un
intervalle de confiance au niveau 95 % pour π, on aura (approximativement)
L = 4
π(1 − π)/n. Cette longueur sera maximale pour π = 0.5, égale dans ce
cas à L = 2/
√
n, ce qui nous donne n = (2/L)
2 .
Exemple 4.7 Si on désire avoir une estimation d’une proportion avec une
précision de ±0.01 (la longueur de l’intervalle de confiance pour cette proportion
étant alors de L = 0.02), il faudra inclure n = (2/0.02)
2 = 10 000 individus
dans notre échantillon. Il s’agira par exemple d’interroger n = 10 000 personnes
représentatives de la population des votants si on désire avoir une bonne chance
de savoir qui va gagner les prochaines élections entre deux candidats.
4.9 Intervalle de confiance de Wilson pour une
proportion
En reprenant le raisonnement depuis le début, on va voir qu’il est possible
d’obtenir une solution alternative pour calculer un intervalle de confiance pour
π. Comme
π est un estimateur sans biais de π, approximativement normalement
distribué et avec une erreur type de
π(1 − π)/n, on a en effet :
Pr
π − 1.96 ·
π(1 − π)/n ≤
π ≤ π + 1.96 ·
π(1 − π)/n
≈ 0.95