4. Intervalle de confiance
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tion du khi-deux pour différentes valeurs de dl. Au besoin, un logiciel statistique
nous donnera n’importe quel quantile de ces distributions
11 .
On aura ainsi :
Pr
χ
2
α/2,n−1 ≤
(n − 1)˜ σ
2
σ 2
≤ χ
2
1−α/2,n−1
= 1 − α.
En manipulant ces inéquations de manière à ce que le paramètre d’intérêt σ
2
se retrouve au milieu, on obtient :
Pr
(n − 1)˜ σ
2
χ 2
1−α/2,n−1
≤ σ
2
≤
(n − 1)˜ σ
2
χ 2
α/2,n−1
= 1 − α.
Ainsi, l’intervalle donné par :
(n − 1)˜ σ
2
χ 2
1−α/2,n−1
;
(n − 1)˜ σ
2
χ 2
α/2,n−1
est un intervalle de confiance au niveau 1 − α pour la variance σ
2 qui sera exact
si les observations sont normales. Un intervalle de confiance exact au niveau
1 − α pour l’écart type σ s’obtient en calculant la racine carrée de ces bornes.
Exemple 4.5 Pour les Onobrychis, on avait ˜
σ
2 = 14.79 et n = 60. En supposant la normalité des observations (que l’on avait vérifiée au chapitre 2), et
en utilisant χ
2
0.025,59 = 39.66 et χ
2
0.975,59 = 82.12, on calcule un intervalle de
confiance au niveau 95 % pour la variance σ
2 comme suit :
59 · 14.79
82.12
;
59 · 14.79
39.66
= [10.63; 22.00].
Un intervalle de confiance au niveau 95 % pour l’écart type σ se calcule alors
par :
√
10.63;
√
22.0
= [3.26; 4.69].
4.8 Intervalle de confiance de Wald pour une
proportion
On a vu qu’une proportion π est un cas particulier d’une moyenne (la
moyenne d’une variable binaire). À partir de l’estimateur
π de cette proportion, on peut donc appliquer la méthode de Wald et calculer un intervalle de
confiance au niveau 95 % pour π comme suit :
π ± 1.96 · SE( π). Cependant,
l’erreur type de
π dépend du véritable π :
SE( π) =
π(1 − π)/n.
11 Dans R, on calcule par exemple χ 2
0.95,1 par la commande qchisq(0.95,1) (et on trouve
ainsi 3.84, voir le tableau A.3 donné en annexe).