4. Intervalle de confiance
61
4.6 Transformation logarithmique
On a mentionné brièvement un exemple au chapitre 2 où l’on a mesuré
le taux de créatine dans le sang pour n = 31 femmes atteintes d’une maladie génétique (on y reviendra plus en détail dans le chapitre 5). Sur l’échelle
originale, on a une moyenne de 167.1 et un écart type de 162.9. En utilisant
t 0.975,30 = 2.04, on calcule un intervalle de confiance au niveau 95 % pour le
taux moyen de créatine comme suit :
167.1 ± 2.04 · 162.9/
√
31 = [107.4; 226.8].
Bien qu’il soit évident que ces données ne sont pas normales (si on soustrait
deux écarts types à la moyenne afin de calculer la borne inférieure d’un intervalle de prédiction au niveau 95 %, on obtient une valeur très négative, alors
qu’un taux de créatine est par définition positif), cet intervalle de confiance
pourrait quand même être valide si l’asymétrie de la distribution n’était pas
trop grande car la taille de l’échantillon n’est pas si petite (par contre un intervalle de prédiction au niveau 95 % de la forme 167.1 ± 2 · 162.9 n’est donc
pas valide).
Nous avions cependant recommandé d’effectuer l’analyse statistique sur
l’échelle logarithmique, où l’on avait une moyenne de 4.71 et un écart type
de 0.91. En admettant que la normalité soit atteinte sur cette échelle, on calcule un intervalle de confiance au niveau 95 % pour la moyenne de log-créatine
comme suit :
4.71 ± 2.04 · 0.91/
√
31 = [4.38; 5.04].
Rappelons que la quantité exp(4.71) = 111.1 est ici un estimateur du taux
médian de créatine sur l’échelle originale. L’analyse sur l’échelle logarithmique
nous permet alors d’obtenir un intervalle de confiance pour le taux médian
de créatine sur l’échelle originale en calculant l’exponentielle des bornes de
l’intervalle de confiance ci-dessus :
[exp(4.38); exp(5.04)] = [79.8; 154.5].
On remarque en passant qu’en utilisant cette méthode, l’estimateur du taux
médian (111.1) ne se trouve pas au centre de l’intervalle de confiance pour
ce taux médian (un intervalle de confiance ne se calcule donc pas toujours en
utilisant une formule du type a ± b). L’analyse sur l’échelle logarithmique nous
permet par ailleurs de calculer un intervalle de prédiction sur l’échelle originale
comme suit : si on croit à la normalité sur l’échelle logarithmique, 95 % des
valeurs de log-créatine seront dans l’intervalle :
4.71 ± 2 · 0.91 = [2.89; 6.53]
et donc 95 % des taux de créatine (mesurés sur l’échelle originale) seront dans
l’intervalle :
[exp(2.89); exp(6.53)] = [18.0; 685.4].
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4.6 Transformation logarithmique
On a mentionné brièvement un exemple au chapitre 2 où l’on a mesuré
le taux de créatine dans le sang pour n = 31 femmes atteintes d’une maladie génétique (on y reviendra plus en détail dans le chapitre 5). Sur l’échelle
originale, on a une moyenne de 167.1 et un écart type de 162.9. En utilisant
t 0.975,30 = 2.04, on calcule un intervalle de confiance au niveau 95 % pour le
taux moyen de créatine comme suit :
167.1 ± 2.04 · 162.9/
√
31 = [107.4; 226.8].
Bien qu’il soit évident que ces données ne sont pas normales (si on soustrait
deux écarts types à la moyenne afin de calculer la borne inférieure d’un intervalle de prédiction au niveau 95 %, on obtient une valeur très négative, alors
qu’un taux de créatine est par définition positif), cet intervalle de confiance
pourrait quand même être valide si l’asymétrie de la distribution n’était pas
trop grande car la taille de l’échantillon n’est pas si petite (par contre un intervalle de prédiction au niveau 95 % de la forme 167.1 ± 2 · 162.9 n’est donc
pas valide).
Nous avions cependant recommandé d’effectuer l’analyse statistique sur
l’échelle logarithmique, où l’on avait une moyenne de 4.71 et un écart type
de 0.91. En admettant que la normalité soit atteinte sur cette échelle, on calcule un intervalle de confiance au niveau 95 % pour la moyenne de log-créatine
comme suit :
4.71 ± 2.04 · 0.91/
√
31 = [4.38; 5.04].
Rappelons que la quantité exp(4.71) = 111.1 est ici un estimateur du taux
médian de créatine sur l’échelle originale. L’analyse sur l’échelle logarithmique
nous permet alors d’obtenir un intervalle de confiance pour le taux médian
de créatine sur l’échelle originale en calculant l’exponentielle des bornes de
l’intervalle de confiance ci-dessus :
[exp(4.38); exp(5.04)] = [79.8; 154.5].
On remarque en passant qu’en utilisant cette méthode, l’estimateur du taux
médian (111.1) ne se trouve pas au centre de l’intervalle de confiance pour
ce taux médian (un intervalle de confiance ne se calcule donc pas toujours en
utilisant une formule du type a ± b). L’analyse sur l’échelle logarithmique nous
permet par ailleurs de calculer un intervalle de prédiction sur l’échelle originale
comme suit : si on croit à la normalité sur l’échelle logarithmique, 95 % des
valeurs de log-créatine seront dans l’intervalle :
4.71 ± 2 · 0.91 = [2.89; 6.53]
et donc 95 % des taux de créatine (mesurés sur l’échelle originale) seront dans
l’intervalle :
[exp(2.89); exp(6.53)] = [18.0; 685.4].