60
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Exemple 4.3 Pour l’exemple des Onobrychis, où l’on avait n = 60,
μ = 21.7
cm, ˜
σ = 3.85 cm et ˜
σ/
√
n = 0.50, on peut calculer :
• intervalle de confiance au niveau 95 % pour la moyenne :
21.7 ± 2 · 0.50 = [20.7; 22.7] cm
• intervalle de prédiction au niveau 95 % pour une observation :
21.7 ± 2 · 3.85 = [14.0; 29.4] cm .
Ces deux intervalles sont évidemment très différents l’un de l’autre. Le premier
nous dit que la moyenne de la hauteur des Onobrychis est certainement comprise entre 20.7 et 22.7 cm. Le second nous dit que presque tous les Onobrychis
mesurent entre 14.0 et 29.4 cm.
Rappelons que l’on n’a pas besoin de la normalité des observations pour
qu’un intervalle de confiance pour une moyenne soit valide si n est suffisamment
grand (grâce au théorème central limite), alors que la normalité des observations
sera absolument nécessaire pour assurer la validité d’un intervalle de prédiction
(même avec un grand n).
Notons également que la longueur d’un intervalle de confiance est d’autant plus petite que la taille de l’échantillon est grande. On aura en effet une
meilleure précision de notre estimateur si on observe 10 000 Onobrychis plutôt
que 10. Par contre, que l’on observe dix ou dix mille Onobrychis ne modifiera
pas la variabilité du phénomène étudié, et donc la longueur d’un intervalle de
prédiction ne va pas diminuer avec un grand n.
Lorsqu’on planifie une étude, une question importante est celle du choix de
la taille n de l’échantillon. Une stratégie possible consiste à choisir n de telle
manière que l’on obtienne une estimation suffisamment précise d’un paramètre
d’intérêt
10 . On peut définir cette précision par la longueur L d’un intervalle de
confiance au niveau 95 % pour ce paramètre, c’est-à-dire en gros par quatre fois
l’erreur type de l’estimateur (pour autant qu’il soit sans biais et approximativement normalement distribué). Lorsque le paramètre d’intérêt est la moyenne, il
s’agit donc de résoudre l’équation L = 4σ/
√
n, ce qui nous donne n = (4σ/L)
2 .
Un autre point à relever est que la longueur d’un intervalle de confiance pour
une moyenne est proportionnelle non pas à n mais à
√
n. Cela implique que
pour doubler la précision de l’estimation, il faut multiplier par quatre la taille
de l’échantillon.
Exemple 4.4 Si on désire avoir une estimation avec une précision de ±2 cm
pour la moyenne de la hauteur des Onobrychis (la longueur de l’intervalle de
confiance pour cette moyenne étant ainsi de L = 4 cm), et si par ailleurs on
peut penser que la variabilité des Onobrychis pourrait atteindre σ = 5 cm, il
s’agira d’en planter n = (4 · 5/4)
2 = 25 pour atteindre notre objectif. Si on
désire par contre une précision de ±1 cm (et donc L = 2 cm), il s’agira d’en
planter n = (4 · 5/2)
2 = 100.
10 On verra au chapitre 10 une autre stratégie pour le calcul de la taille d’un échantillon.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Exemple 4.3 Pour l’exemple des Onobrychis, où l’on avait n = 60,
μ = 21.7
cm, ˜
σ = 3.85 cm et ˜
σ/
√
n = 0.50, on peut calculer :
• intervalle de confiance au niveau 95 % pour la moyenne :
21.7 ± 2 · 0.50 = [20.7; 22.7] cm
• intervalle de prédiction au niveau 95 % pour une observation :
21.7 ± 2 · 3.85 = [14.0; 29.4] cm .
Ces deux intervalles sont évidemment très différents l’un de l’autre. Le premier
nous dit que la moyenne de la hauteur des Onobrychis est certainement comprise entre 20.7 et 22.7 cm. Le second nous dit que presque tous les Onobrychis
mesurent entre 14.0 et 29.4 cm.
Rappelons que l’on n’a pas besoin de la normalité des observations pour
qu’un intervalle de confiance pour une moyenne soit valide si n est suffisamment
grand (grâce au théorème central limite), alors que la normalité des observations
sera absolument nécessaire pour assurer la validité d’un intervalle de prédiction
(même avec un grand n).
Notons également que la longueur d’un intervalle de confiance est d’autant plus petite que la taille de l’échantillon est grande. On aura en effet une
meilleure précision de notre estimateur si on observe 10 000 Onobrychis plutôt
que 10. Par contre, que l’on observe dix ou dix mille Onobrychis ne modifiera
pas la variabilité du phénomène étudié, et donc la longueur d’un intervalle de
prédiction ne va pas diminuer avec un grand n.
Lorsqu’on planifie une étude, une question importante est celle du choix de
la taille n de l’échantillon. Une stratégie possible consiste à choisir n de telle
manière que l’on obtienne une estimation suffisamment précise d’un paramètre
d’intérêt
10 . On peut définir cette précision par la longueur L d’un intervalle de
confiance au niveau 95 % pour ce paramètre, c’est-à-dire en gros par quatre fois
l’erreur type de l’estimateur (pour autant qu’il soit sans biais et approximativement normalement distribué). Lorsque le paramètre d’intérêt est la moyenne, il
s’agit donc de résoudre l’équation L = 4σ/
√
n, ce qui nous donne n = (4σ/L)
2 .
Un autre point à relever est que la longueur d’un intervalle de confiance pour
une moyenne est proportionnelle non pas à n mais à
√
n. Cela implique que
pour doubler la précision de l’estimation, il faut multiplier par quatre la taille
de l’échantillon.
Exemple 4.4 Si on désire avoir une estimation avec une précision de ±2 cm
pour la moyenne de la hauteur des Onobrychis (la longueur de l’intervalle de
confiance pour cette moyenne étant ainsi de L = 4 cm), et si par ailleurs on
peut penser que la variabilité des Onobrychis pourrait atteindre σ = 5 cm, il
s’agira d’en planter n = (4 · 5/4)
2 = 25 pour atteindre notre objectif. Si on
désire par contre une précision de ±1 cm (et donc L = 2 cm), il s’agira d’en
planter n = (4 · 5/2)
2 = 100.
10 On verra au chapitre 10 une autre stratégie pour le calcul de la taille d’un échantillon.