4. Intervalle de confiance
55
Lorsque les observations Y i sont normales, on aura ainsi :
Pr
−t 0.975,n−1 ≤
√
n ·
μ − μ
˜
σ
≤ t 0.975,n−1
= 0.95
c’est-à-dire (en manipulant ces inéquations de façon à ce que μ se retrouve au
milieu) :
Pr
μ − t 0.975,n−1 · ˜
σ/
√
n ≤ μ ≤
μ + t 0.975,n−1 · ˜
σ/
√
n
= 0.95.
L’intervalle donné par :
[ μ − t 0.975,n−1 · ˜
σ/
√
n;
μ + t 0.975,n−1 · ˜
σ/
√
n]
est dit un intervalle de confiance de Student au niveau 95 % pour μ. Plus
généralement, l’intervalle donné par :
[ μ − t 1−α/2,n−1 · ˜
σ/
√
n;
μ + t 1−α/2,n−1 · ˜
σ/
√
n]
est un intervalle de confiance de Student au niveau 1 − α pour μ. Cet intervalle
peut être utilisé quelle que soit la taille n ≥ 2 de l’échantillon, pour autant que
les observations Y i soient normales.
Un intervalle de confiance de Student pour une moyenne se calcule donc
comme un intervalle de confiance de Wald pour une moyenne, sauf que l’on
remplace z 1−α/2 par t 1−α/2,n−1 . Un intervalle de confiance de Student sera donc
légèrement plus large qu’un intervalle de confiance de Wald (car t 1−α/2,dl >
z 1−α/2 ). La méthode de Student tient compte du fait que ˜
σ est un estimateur
imprécis de σ lorsque n est petit. On ajoute ainsi de l’incertitude à notre
calcul, ce qui se traduit logiquement par une augmentation de la longueur
de l’intervalle de confiance. Pour l’exemple des Onobrychis, cela ne change
pas grand chose car l’échantillon est suffisamment grand (il faudra remplacer
z 0.975 = 1.96 par t 0.975,59 = 2.00). Pour un échantillon plus petit, cela fera par
contre une différence.
Exemple 4.2 Voici un échantillon de n = 10 personnes ayant effectué un
régime pendant deux mois et chez lesquelles on a observé les pertes de poids
suivantes (en kg) :
−1.6 −0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.6 1.7 2.6
Ces observations sont rangées par ordre croissant. Une valeur négative indique
une prise de poids au lieu d’une perte de poids (2 personnes sur 10 ont pris du
poids). On s’intéresse à la moyenne μ de ces pertes de poids dans une population
de personnes qui suivraient le même régime. On dira dans cet exemple que μ
représente l’effet (ou l’effet moyen) du régime
4 . On a ici :
4 On pourra nous rétorquer qu’une perte de poids dans ce contexte ne sera pas forcément
l’effet du régime proprement dit ; cela pourrait tout aussi bien être un effet psychologique, ou
l’effet du temps qui passe, mais ceci est un autre débat que l’on retrouvera au chapitre 15.
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Lorsque les observations Y i sont normales, on aura ainsi :
Pr
−t 0.975,n−1 ≤
√
n ·
μ − μ
˜
σ
≤ t 0.975,n−1
= 0.95
c’est-à-dire (en manipulant ces inéquations de façon à ce que μ se retrouve au
milieu) :
Pr
μ − t 0.975,n−1 · ˜
σ/
√
n ≤ μ ≤
μ + t 0.975,n−1 · ˜
σ/
√
n
= 0.95.
L’intervalle donné par :
[ μ − t 0.975,n−1 · ˜
σ/
√
n;
μ + t 0.975,n−1 · ˜
σ/
√
n]
est dit un intervalle de confiance de Student au niveau 95 % pour μ. Plus
généralement, l’intervalle donné par :
[ μ − t 1−α/2,n−1 · ˜
σ/
√
n;
μ + t 1−α/2,n−1 · ˜
σ/
√
n]
est un intervalle de confiance de Student au niveau 1 − α pour μ. Cet intervalle
peut être utilisé quelle que soit la taille n ≥ 2 de l’échantillon, pour autant que
les observations Y i soient normales.
Un intervalle de confiance de Student pour une moyenne se calcule donc
comme un intervalle de confiance de Wald pour une moyenne, sauf que l’on
remplace z 1−α/2 par t 1−α/2,n−1 . Un intervalle de confiance de Student sera donc
légèrement plus large qu’un intervalle de confiance de Wald (car t 1−α/2,dl >
z 1−α/2 ). La méthode de Student tient compte du fait que ˜
σ est un estimateur
imprécis de σ lorsque n est petit. On ajoute ainsi de l’incertitude à notre
calcul, ce qui se traduit logiquement par une augmentation de la longueur
de l’intervalle de confiance. Pour l’exemple des Onobrychis, cela ne change
pas grand chose car l’échantillon est suffisamment grand (il faudra remplacer
z 0.975 = 1.96 par t 0.975,59 = 2.00). Pour un échantillon plus petit, cela fera par
contre une différence.
Exemple 4.2 Voici un échantillon de n = 10 personnes ayant effectué un
régime pendant deux mois et chez lesquelles on a observé les pertes de poids
suivantes (en kg) :
−1.6 −0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.6 1.7 2.6
Ces observations sont rangées par ordre croissant. Une valeur négative indique
une prise de poids au lieu d’une perte de poids (2 personnes sur 10 ont pris du
poids). On s’intéresse à la moyenne μ de ces pertes de poids dans une population
de personnes qui suivraient le même régime. On dira dans cet exemple que μ
représente l’effet (ou l’effet moyen) du régime
4 . On a ici :
4 On pourra nous rétorquer qu’une perte de poids dans ce contexte ne sera pas forcément
l’effet du régime proprement dit ; cela pourrait tout aussi bien être un effet psychologique, ou
l’effet du temps qui passe, mais ceci est un autre débat que l’on retrouvera au chapitre 15.