4. Intervalle de confiance
53
Exemple 4.1 Dans l’exemple des Onobrychis, on avait n = 60,
μ = 21.7 cm
et ˜
σ = 3.85 cm. Un intervalle de confiance au niveau 95 % pour μ s’obtient
ainsi par :
21.7 ± 1.96 · 3.85/
√
60 = [20.7; 22.7] cm .
Bien que l’on ne connaisse toujours pas la véritable moyenne μ de la hauteur
des Onobrychis après une culture de six mois, on est capable ici de la cerner
avec une grande probabilité. On peut dire que cette moyenne se trouve avec une
probabilité de 95 % entre 20.7 et 22.7 cm.
4.3 Intervalle de confiance de Student pour une
moyenne
Le remplacement de σ par son estimateur ˜
σ en fin de section précédente
n’est pas totalement anodin. La méthode de Wald se fonde en effet sur la
normalité de la variable aléatoire :
μ − E( μ)
SE( μ)
=
√
n ·
μ − μ
σ
(que l’on aura lorsque les observations Y i sont normales ou lorsque n est assez
grand). Or, il se trouve que la variable aléatoire légèrement modifiée :
√
n ·
μ − μ
˜
σ
ne sera pas normale lorsque n est petit, et ceci même si les observations Y i sont
normales. Dans ce dernier cas, la distribution de cette variable aléatoire est
cependant connue mathématiquement et appelée distribution de Student (ou
distribution t). Il s’agit d’une nouvelle famille de distributions indexée par un
paramètre appelé degrés de liberté, que nous noterons dl
2 .
Lorsque les observations Y i sont normales, la variable aléatoire
√
n ·
μ − μ
˜
σ
aura une distribution de Student avec n − 1 dl.
2 La densité de probabilité d’une distribution de Student avec n − 1 degrés de liberté est
définie par :
f (y) =
Γ
` n
2
´
p
(n − 1)π · Γ
` n−1
2
´
„
1 +
y 2
n − 1
« − n
2
où Γ(x) dénote la fonction Gamma. Ce résultat a été publié en 1908 par William Gosset,
dont le pseudonyme était Student. On a récemment célébré les 100 ans de ce résultat. Voir
par exemple l’article de Zabell (2008).
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Exemple 4.1 Dans l’exemple des Onobrychis, on avait n = 60,
μ = 21.7 cm
et ˜
σ = 3.85 cm. Un intervalle de confiance au niveau 95 % pour μ s’obtient
ainsi par :
21.7 ± 1.96 · 3.85/
√
60 = [20.7; 22.7] cm .
Bien que l’on ne connaisse toujours pas la véritable moyenne μ de la hauteur
des Onobrychis après une culture de six mois, on est capable ici de la cerner
avec une grande probabilité. On peut dire que cette moyenne se trouve avec une
probabilité de 95 % entre 20.7 et 22.7 cm.
4.3 Intervalle de confiance de Student pour une
moyenne
Le remplacement de σ par son estimateur ˜
σ en fin de section précédente
n’est pas totalement anodin. La méthode de Wald se fonde en effet sur la
normalité de la variable aléatoire :
μ − E( μ)
SE( μ)
=
√
n ·
μ − μ
σ
(que l’on aura lorsque les observations Y i sont normales ou lorsque n est assez
grand). Or, il se trouve que la variable aléatoire légèrement modifiée :
√
n ·
μ − μ
˜
σ
ne sera pas normale lorsque n est petit, et ceci même si les observations Y i sont
normales. Dans ce dernier cas, la distribution de cette variable aléatoire est
cependant connue mathématiquement et appelée distribution de Student (ou
distribution t). Il s’agit d’une nouvelle famille de distributions indexée par un
paramètre appelé degrés de liberté, que nous noterons dl
2 .
Lorsque les observations Y i sont normales, la variable aléatoire
√
n ·
μ − μ
˜
σ
aura une distribution de Student avec n − 1 dl.
2 La densité de probabilité d’une distribution de Student avec n − 1 degrés de liberté est
définie par :
f (y) =
Γ
` n
2
´
p
(n − 1)π · Γ
` n−1
2
´
„
1 +
y 2
n − 1
« − n
2
où Γ(x) dénote la fonction Gamma. Ce résultat a été publié en 1908 par William Gosset,
dont le pseudonyme était Student. On a récemment célébré les 100 ans de ce résultat. Voir
par exemple l’article de Zabell (2008).