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Statistique appliquée aux sciences de la vie
On note que la longueur de l’intervalle de confiance augmente avec le niveau
de confiance. Or, un intervalle de confiance trop large ne sera pas très utile
(car peu informatif). Il s’agit donc de trouver un compromis raisonnable entre
niveau de confiance et longueur de l’intervalle de confiance. En pratique, ce
compromis est souvent choisi à 95 %.
On calcule en général un intervalle de confiance au niveau 95 %.
4.2 Intervalle de confiance de Wald pour une
moyenne
On a vu que la moyenne
μ de l’échantillon est un estimateur sans biais et
(approximativement) normal de la moyenne μ de la population. On peut donc
ici utiliser la méthode de Wald. Comme SE( μ) = σ/
√
n, on aura :
Pr
μ − 1.96 · σ/
√
n ≤
μ ≤ μ + 1.96 · σ/
√
n
= 0.95
que l’on exprime parfois en standardisant
μ de la sorte :
Pr
−1.96 ≤
√
n ·
μ − μ
σ
≤ 1.96
= 0.95.
En manipulant ces inéquations de façon à ce que μ se retrouve au milieu, on
obtient :
Pr
μ − 1.96 · σ/
√
n ≤ μ ≤
μ + 1.96 · σ/
√
n
= 0.95.
L’intervalle donné par :
[ μ − 1.96 · σ/
√
n;
μ + 1.96 · σ/
√
n]
est donc un intervalle de confiance de Wald au niveau 95 % pour μ. En pratique,
il faudra remplacer σ par son estimateur ˜
σ dans ces formules (ce qui revient à
dire : il faudra estimer l’erreur type de
μ). On calculera donc un intervalle de
confiance de Wald au niveau 95 % pour μ comme suit :
[ μ − 1.96 · ˜
σ/
√
n;
μ + 1.96 · ˜
σ/
√
n].
Plus généralement, l’intervalle donné par :
[ μ − z 1−α/2 · ˜
σ/
√
n;
μ + z 1−α/2 · ˜
σ/
√
n]
est un intervalle de confiance de Wald au niveau 1 − α pour μ.