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Statistique appliquée aux sciences de la vie
de l’échantillon et la proportion π de 1 dans la population de laquelle provient
l’échantillon. Rappelons que la distribution d’une variable quantitative discrète
peut être caractérisée par les proportions (les probabilités) d’occurence des
différentes valeurs possibles. Pour une distribution binomiale avec paramètres
n et π, ces probabilités sont données par
8 :
Pr{K = k} =
n!
k!(n − k)!
· π
k (1 − π)
n−k
et ceci pour les n + 1 valeurs possibles k = 0, 1, 2, · · · , n. Par exemple, si n = 10
et π = 0.2, on aura les probabilités suivantes
9 :
Pr{K = 0} =
10!
0!·10! · 0.2
0
· 0.8
10
=
0 .8
10
=
11%
Pr{K = 1} =
10!
1!·9! · 0.2
1
· 0.8
9
=
10· 0.2 · 0.8
9
=
27%
Pr{K = 2} =
10!
2!·8! · 0.2
2
· 0.8
8
= 45· 0.2
2
· 0.8
8
=
30%
Pr{K = 3} =
10!
3!·7! · 0.2
3
· 0.8
7
= 120 · 0.2
3
· 0.8
7
=
20%
Pr{K = 4} =
10!
4!·6! · 0.2
4
· 0.8
6
= 210 · 0.2
4
· 0.8
6
=
8.8 %
Pr{K = 5} =
10!
5!·5! · 0.2
5
· 0.8
5
= 252 · 0.2
5
· 0.8
5
=
2.6 %
Pr{K = 6} =
10!
6!·4! · 0.2
6
· 0.8
4
= 210 · 0.2
6
· 0.8
4
=
0.55 %
Pr{K = 7} =
10!
7!·3! · 0.2
7
· 0.8
3
= 120 · 0.2
7
· 0.8
3
=
0.079 %
Pr{K = 8} =
10!
8!·2! · 0.2
8
· 0.8
2
= 45· 0.2
8
· 0.8
2
=
0.0074 %
Pr{K = 9} =
10!
9!·1! · 0.2
9
· 0.8
1
=
10· 0.2
9
· 0.8
= 0.00041 %
Pr{K = 10} =
10!
10!·0! · 0.2
10
· 0.8
0
=
0 .2
10
= 0.000010 %
Si la véritable proportion est égale à π = 0.2 et si la taille de l’échantillon est
n = 10, on aura ainsi une grande probabilité d’observer
π = 0.1,
π = 0.2 ou
π = 0.3. Par contre, il sera extrêmement rare d’observer
π = 1.
La figure 3.2 nous montre des exemples de distributions binomiales (sous
forme de diagrammes en barres, qui est la méthode graphique habituelle pour
représenter la distribution d’une variable quantitative discrète). Le graphique
(b) nous montre la distribution binomiale avec n = 10 et π = 0.2 que nous venons de calculer. Une distribution normale est également représentée en arrièreplan par un trait fin sur chacun de ces graphiques. Selon notre critère ci-dessus
(nπ ≥ 5 et n(1 − π) ≥ 5), l’approximation normale est bonne pour les distributions binomiales représentées dans les graphiques (e) et (f).
8 k! représente le produit k(k − 1) · · · 2 · 1, par exemple 4! = 24 et par convention 0! = 1.
9 Dans R, ces probabilités peuvent s’obtenir avec la commande dbinom(k,n,pi), où k est
une valeur possible et n et pi sont les paramètres de la distribution binomiale en question.
Dans cet exemple, on a ainsi utilisé dbinom(0:10,10,0.2).
Statistique appliquée aux sciences de la vie
de l’échantillon et la proportion π de 1 dans la population de laquelle provient
l’échantillon. Rappelons que la distribution d’une variable quantitative discrète
peut être caractérisée par les proportions (les probabilités) d’occurence des
différentes valeurs possibles. Pour une distribution binomiale avec paramètres
n et π, ces probabilités sont données par
8 :
Pr{K = k} =
n!
k!(n − k)!
· π
k (1 − π)
n−k
et ceci pour les n + 1 valeurs possibles k = 0, 1, 2, · · · , n. Par exemple, si n = 10
et π = 0.2, on aura les probabilités suivantes
9 :
Pr{K = 0} =
10!
0!·10! · 0.2
0
· 0.8
10
=
0 .8
10
=
11%
Pr{K = 1} =
10!
1!·9! · 0.2
1
· 0.8
9
=
10· 0.2 · 0.8
9
=
27%
Pr{K = 2} =
10!
2!·8! · 0.2
2
· 0.8
8
= 45· 0.2
2
· 0.8
8
=
30%
Pr{K = 3} =
10!
3!·7! · 0.2
3
· 0.8
7
= 120 · 0.2
3
· 0.8
7
=
20%
Pr{K = 4} =
10!
4!·6! · 0.2
4
· 0.8
6
= 210 · 0.2
4
· 0.8
6
=
8.8 %
Pr{K = 5} =
10!
5!·5! · 0.2
5
· 0.8
5
= 252 · 0.2
5
· 0.8
5
=
2.6 %
Pr{K = 6} =
10!
6!·4! · 0.2
6
· 0.8
4
= 210 · 0.2
6
· 0.8
4
=
0.55 %
Pr{K = 7} =
10!
7!·3! · 0.2
7
· 0.8
3
= 120 · 0.2
7
· 0.8
3
=
0.079 %
Pr{K = 8} =
10!
8!·2! · 0.2
8
· 0.8
2
= 45· 0.2
8
· 0.8
2
=
0.0074 %
Pr{K = 9} =
10!
9!·1! · 0.2
9
· 0.8
1
=
10· 0.2
9
· 0.8
= 0.00041 %
Pr{K = 10} =
10!
10!·0! · 0.2
10
· 0.8
0
=
0 .2
10
= 0.000010 %
Si la véritable proportion est égale à π = 0.2 et si la taille de l’échantillon est
n = 10, on aura ainsi une grande probabilité d’observer
π = 0.1,
π = 0.2 ou
π = 0.3. Par contre, il sera extrêmement rare d’observer
π = 1.
La figure 3.2 nous montre des exemples de distributions binomiales (sous
forme de diagrammes en barres, qui est la méthode graphique habituelle pour
représenter la distribution d’une variable quantitative discrète). Le graphique
(b) nous montre la distribution binomiale avec n = 10 et π = 0.2 que nous venons de calculer. Une distribution normale est également représentée en arrièreplan par un trait fin sur chacun de ces graphiques. Selon notre critère ci-dessus
(nπ ≥ 5 et n(1 − π) ≥ 5), l’approximation normale est bonne pour les distributions binomiales représentées dans les graphiques (e) et (f).
8 k! représente le produit k(k − 1) · · · 2 · 1, par exemple 4! = 24 et par convention 0! = 1.
9 Dans R, ces probabilités peuvent s’obtenir avec la commande dbinom(k,n,pi), où k est
une valeur possible et n et pi sont les paramètres de la distribution binomiale en question.
Dans cet exemple, on a ainsi utilisé dbinom(0:10,10,0.2).