3. Estimation
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0
1
2
3
4
5
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
probabilités
(a) n=5 π π=0.5
0
2
4
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1 0
0.00
0.10
0.20
0.30
probabilités
(b) n=10 π π=0.2
0
5
10
15
20
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
probabilités
(c) n=20 π π=0.9
0
5 10 15 20 25 30
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
probabilités
(d) n=30 π π=0.1
0
5 10 15 20 25 30
0.00
0.05
0.10
0.15
probabilités
(e) n=30 π π=0.2
0
5 10 15 20 25 30
0.00
0.05
0.10
0.15
probabilités
(f) n=30 π π=0.4
Figure 3.2 – Exemples de distributions binomiales avec différentes valeurs de n et π.
· · · , (n − 1)/n, 1 (avec un échantillon de taille n = 10, il sera possible d’observer
une proportion
π de 0, 0.1, 0.2, etc., mais il sera impossible d’observer une
proportion
π de 0.15 ou de 0.18). Cette distribution discrète sera pourtant
proche d’une distribution normale si n est grand (comme on le verra sur la
figure 3.2). En général, l’approximation normale sera bonne si nπ ≥ 5 et si
n(1 − π) ≥ 5. Pour s’assurer d’une normalité approximative, on aura donc
besoin d’un plus grand n dans les cas où π est proche de 0 ou de 1 que dans
les cas où π est proche de 0.5. Ainsi n = 10 suffira si π = 0.5, alors qu’il faudra
n = 50 si π = 0.1 ou π = 0.9.
3.6 Distribution
exacte
d’une
proportion
calculée dans un échantillon
La distribution exacte de
π est connue. Elle est habituellement tabulée pour
la variable aléatoire K = n π qui représente le nombre de 1 dans l’échantillon
(avec n = 10, K = 0 correspond à
π = 0, K = 1 à
π = 0.1, K = 2 à
π = 0.2, etc.). La distribution de K est dite binomiale avec paramètres n et π.
Il s’agit d’une famille de distributions indexée par deux paramètres : la taille n
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1
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probabilités
(a) n=5 π π=0.5
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probabilités
(b) n=10 π π=0.2
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probabilités
(c) n=20 π π=0.9
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5 10 15 20 25 30
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probabilités
(d) n=30 π π=0.1
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5 10 15 20 25 30
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probabilités
(e) n=30 π π=0.2
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5 10 15 20 25 30
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0.05
0.10
0.15
probabilités
(f) n=30 π π=0.4
Figure 3.2 – Exemples de distributions binomiales avec différentes valeurs de n et π.
· · · , (n − 1)/n, 1 (avec un échantillon de taille n = 10, il sera possible d’observer
une proportion
π de 0, 0.1, 0.2, etc., mais il sera impossible d’observer une
proportion
π de 0.15 ou de 0.18). Cette distribution discrète sera pourtant
proche d’une distribution normale si n est grand (comme on le verra sur la
figure 3.2). En général, l’approximation normale sera bonne si nπ ≥ 5 et si
n(1 − π) ≥ 5. Pour s’assurer d’une normalité approximative, on aura donc
besoin d’un plus grand n dans les cas où π est proche de 0 ou de 1 que dans
les cas où π est proche de 0.5. Ainsi n = 10 suffira si π = 0.5, alors qu’il faudra
n = 50 si π = 0.1 ou π = 0.9.
3.6 Distribution
exacte
d’une
proportion
calculée dans un échantillon
La distribution exacte de
π est connue. Elle est habituellement tabulée pour
la variable aléatoire K = n π qui représente le nombre de 1 dans l’échantillon
(avec n = 10, K = 0 correspond à
π = 0, K = 1 à
π = 0.1, K = 2 à
π = 0.2, etc.). La distribution de K est dite binomiale avec paramètres n et π.
Il s’agit d’une famille de distributions indexée par deux paramètres : la taille n