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Statistique appliquée aux sciences de la vie
1 er échantillon
3 4 6 10 3 9 10 7 7 1
σ
2 = 9.0 ˜
σ
2 = 10.0
2 e échantillon
3 2 7 4 8 5 8 10 4 8
σ
2 = 6.3
˜
σ
2 = 7.0
3 e échantillon
10 3 7 2 3 4 1 4 9 4
σ
2 = 8.0
˜
σ
2 = 8.9
4 e échantillon
5 6 5 2 9 7 8 2 8 5
σ
2 = 5.2
˜
σ
2 = 5.8
5 e échantillon
9 7 8 6 6 8 1 5 8 7
σ
2 = 4.7
˜
σ
2 = 5.2
. . .
. . .
. . .
. . .
10 000 e échantillon 5 8 2 5 4 1 3 10 1 2
σ
2 = 8.1
˜
σ
2 = 9.0
La moyenne des 10 000 valeurs de
σ
2 était de 7.45, ce qui est au-dessous du
véritable σ
2 . Par contre, la moyenne des 10 000 valeurs de ˜
σ
2 était de 8.28, ce
qui est très proche de σ
2 = 8.25. La théorie nous dit que la moyenne des ˜
σ
2
aurait été parfaitement égale à σ
2 si on avait effectué une infinité de simulations.
3.5 Distribution d’une proportion calculée dans
un échantillon
Rappelons que la distribution d’une variable binaire est caractérisée par une
proportion et qu’une proportion peut être considérée comme un cas particulier
de moyenne. Il suffit pour cela de coder les deux catégories de la variable binaire
par 1 et 0 et de considérer la variable binaire ainsi codée comme une variable
quantitative discrète (ce que nous ferons en général dans ce texte), la proportion
de 1 étant alors égale à la moyenne de cette variable. Du coup, les résultats
vus dans ce chapitre pour l’estimateur
μ de la moyenne μ de la population sont
aussi valables pour l’estimateur
π de la proportion π de 1 dans la population.
Considérons un échantillon de n observations indépendantes Y 1 , Y 2 , · · · , Y n
d’une variable binaire avec E(Y i ) = π et donc Var(Y i ) = π(1−π). En appliquant
les résultats vus ci-dessus, on obtient :
• E( π) = E
P
i Yi
n
= π
→
π est un estimateur sans biais de π
• Var( π) =
π(1−π)
n
et donc SE( π) =
π(1−π)
n
→ la précision de l’estimateur
π dépend de la véritable proportion π
→ il sera plus difficile d’estimer précisément une proportion proche de
0.5 qu’une proportion proche de 0 ou de 1
• la distribution de
π sera approximativement normale pour autant que n
soit suffisamment grand.
Ce dernier point appelle quelques commentaires. Notons tout d’abord que
π
est une variable quantitative discrète avec n + 1 valeurs possibles : 0, 1/n, 2/n,
Statistique appliquée aux sciences de la vie
1 er échantillon
3 4 6 10 3 9 10 7 7 1
σ
2 = 9.0 ˜
σ
2 = 10.0
2 e échantillon
3 2 7 4 8 5 8 10 4 8
σ
2 = 6.3
˜
σ
2 = 7.0
3 e échantillon
10 3 7 2 3 4 1 4 9 4
σ
2 = 8.0
˜
σ
2 = 8.9
4 e échantillon
5 6 5 2 9 7 8 2 8 5
σ
2 = 5.2
˜
σ
2 = 5.8
5 e échantillon
9 7 8 6 6 8 1 5 8 7
σ
2 = 4.7
˜
σ
2 = 5.2
. . .
. . .
. . .
. . .
10 000 e échantillon 5 8 2 5 4 1 3 10 1 2
σ
2 = 8.1
˜
σ
2 = 9.0
La moyenne des 10 000 valeurs de
σ
2 était de 7.45, ce qui est au-dessous du
véritable σ
2 . Par contre, la moyenne des 10 000 valeurs de ˜
σ
2 était de 8.28, ce
qui est très proche de σ
2 = 8.25. La théorie nous dit que la moyenne des ˜
σ
2
aurait été parfaitement égale à σ
2 si on avait effectué une infinité de simulations.
3.5 Distribution d’une proportion calculée dans
un échantillon
Rappelons que la distribution d’une variable binaire est caractérisée par une
proportion et qu’une proportion peut être considérée comme un cas particulier
de moyenne. Il suffit pour cela de coder les deux catégories de la variable binaire
par 1 et 0 et de considérer la variable binaire ainsi codée comme une variable
quantitative discrète (ce que nous ferons en général dans ce texte), la proportion
de 1 étant alors égale à la moyenne de cette variable. Du coup, les résultats
vus dans ce chapitre pour l’estimateur
μ de la moyenne μ de la population sont
aussi valables pour l’estimateur
π de la proportion π de 1 dans la population.
Considérons un échantillon de n observations indépendantes Y 1 , Y 2 , · · · , Y n
d’une variable binaire avec E(Y i ) = π et donc Var(Y i ) = π(1−π). En appliquant
les résultats vus ci-dessus, on obtient :
• E( π) = E
P
i Yi
n
= π
→
π est un estimateur sans biais de π
• Var( π) =
π(1−π)
n
et donc SE( π) =
π(1−π)
n
→ la précision de l’estimateur
π dépend de la véritable proportion π
→ il sera plus difficile d’estimer précisément une proportion proche de
0.5 qu’une proportion proche de 0 ou de 1
• la distribution de
π sera approximativement normale pour autant que n
soit suffisamment grand.
Ce dernier point appelle quelques commentaires. Notons tout d’abord que
π
est une variable quantitative discrète avec n + 1 valeurs possibles : 0, 1/n, 2/n,