3. Estimation
45
que les observations Y 1 , Y 2 , · · · , Y n de l’échantillon soient indépendantes) :
E( σ
2 ) = E
i (Y i −
μ)
2
n
= E
i Y
2
i − n μ
2
n
=
i E(Y
2
i ) − nE( μ
2 )
n
=
i Var(Y i ) +
i E
2 (Y i ) − n · Var( μ) − n · E
2 ( μ)
n
=
nσ
2 + nμ
2
− nσ
2 /n − nμ
2
n
=
(n − 1)σ
2
n
< σ
2 .
Afin d’obtenir un estimateur sans biais de la variance de la population σ
2 ,
on redéfinit la variance de l’échantillon comme suit :
˜
σ
2 =
n
i=1 (Y i −
μ)
2
n − 1
=
n
n − 1
·
σ
2 .
Lorsque l’on calcule une variance dans un échantillon, on divise ainsi par n − 1
(et non par n) la somme des déviations au carré par rapport à la moyenne. On
a alors
7 :
E(˜ σ
2 ) = E
n
n − 1
·
σ
2
=
n
n − 1
· E( σ
2 ) =
n
n − 1
·
n − 1
n
· σ
2 = σ
2 .
Ainsi, ˜
σ
2 est un estimateur sans biais de σ
2 (en moyenne ˜
σ
2 serait égal à
σ
2 si on répétait l’expérience). Ce nouvel estimateur n’est pas défini pour un
échantillon de taille n = 1, ce qui correspond à une certaine logique (on ne
peut pas prétendre estimer une variabilité à partir d’une seule observation).
On estimera par ailleurs l’erreur type de
μ par ˜
σ/
√
n.
Exemple 3.1 Dans notre exemple des n = 60 Onobrychis introduits au chapitre 1, on avait
σ
2 = 14.54 (et ainsi
σ = 3.81). On aura donc ˜
σ
2 = (60/59) ·
14.54 = 14.79 (et ainsi ˜
σ = 3.85) et on estimera l’erreur type de
μ par
3.85/
√
60 = 0.50.
Ici également, on peut vérifier ce résultat théorique par simulation. Pour
les 10 000 échantillons simulés dans la section précédente, on a obtenu par
exemple :
7 Notons toutefois que si la taille N de la population est finie, l’espérance de ˜
σ 2 sera égale
à σ 2 · N/(N − 1) (non pas à σ 2 ), ce qui motive certains auteurs à utiliser également un
dénominateur de N − 1 pour définir la variance de la population.
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que les observations Y 1 , Y 2 , · · · , Y n de l’échantillon soient indépendantes) :
E( σ
2 ) = E
i (Y i −
μ)
2
n
= E
i Y
2
i − n μ
2
n
=
i E(Y
2
i ) − nE( μ
2 )
n
=
i Var(Y i ) +
i E
2 (Y i ) − n · Var( μ) − n · E
2 ( μ)
n
=
nσ
2 + nμ
2
− nσ
2 /n − nμ
2
n
=
(n − 1)σ
2
n
< σ
2 .
Afin d’obtenir un estimateur sans biais de la variance de la population σ
2 ,
on redéfinit la variance de l’échantillon comme suit :
˜
σ
2 =
n
i=1 (Y i −
μ)
2
n − 1
=
n
n − 1
·
σ
2 .
Lorsque l’on calcule une variance dans un échantillon, on divise ainsi par n − 1
(et non par n) la somme des déviations au carré par rapport à la moyenne. On
a alors
7 :
E(˜ σ
2 ) = E
n
n − 1
·
σ
2
=
n
n − 1
· E( σ
2 ) =
n
n − 1
·
n − 1
n
· σ
2 = σ
2 .
Ainsi, ˜
σ
2 est un estimateur sans biais de σ
2 (en moyenne ˜
σ
2 serait égal à
σ
2 si on répétait l’expérience). Ce nouvel estimateur n’est pas défini pour un
échantillon de taille n = 1, ce qui correspond à une certaine logique (on ne
peut pas prétendre estimer une variabilité à partir d’une seule observation).
On estimera par ailleurs l’erreur type de
μ par ˜
σ/
√
n.
Exemple 3.1 Dans notre exemple des n = 60 Onobrychis introduits au chapitre 1, on avait
σ
2 = 14.54 (et ainsi
σ = 3.81). On aura donc ˜
σ
2 = (60/59) ·
14.54 = 14.79 (et ainsi ˜
σ = 3.85) et on estimera l’erreur type de
μ par
3.85/
√
60 = 0.50.
Ici également, on peut vérifier ce résultat théorique par simulation. Pour
les 10 000 échantillons simulés dans la section précédente, on a obtenu par
exemple :
7 Notons toutefois que si la taille N de la population est finie, l’espérance de ˜
σ 2 sera égale
à σ 2 · N/(N − 1) (non pas à σ 2 ), ce qui motive certains auteurs à utiliser également un
dénominateur de N − 1 pour définir la variance de la population.