3. Estimation
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proximativement normale ? ». La réponse dépendra en effet du degré de nonnormalité et notamment du degré d’asymétrie de la distribution des observations Y i . Ainsi, n = 100 ne sera pas forcément suffisant si Y i est asymétrique
(par exemple si Y i est log-normale), alors que n = 10 sera en général suffisant
si Y i est symétrique (évidemment, n = 1 suffira si Y i est elle-même normale).
Ces résultats ont été établis sur des bases théoriques. On peut les vérifier en
effectuant des simulations dont voici un exemple. On considère une population
de nombres entiers répartis uniformément entre 1 et 10 (avec 10 % de 1, 10 %
de 2, etc.). On considère de la sorte une variable Y i quantitative discrète, dont
la distribution n’est pas du tout normale (mais uniforme). On laissera vérifier
au lecteur que l’on a dans cette population une moyenne de μ = 5.5 et une
variance de σ
2 = 8.25. De cette population, on tire au hasard un échantillon
de taille n = 10. On obtient par exemple
6 :
3 4 6 10 3 9 10 7 7 1
La moyenne de cet échantillon est égale à
μ = 6.0, ce qui est légèrement audessus du véritable μ = 5.5. Les résultats ci-dessus nous disent cependant que si
on répétait l’expérience, la distribution des
μ obtenus serait à peu près normale
avec une moyenne de μ = 5.5 et un écart type de σ/
√
n =
8.25/10 = 0.91.
Vu que l’on connaît ici la population, il est possible de vérifier ces résultats en
répétant effectivement l’expérience, ce que nous avons fait 10 000 fois avec les
résultats suivants :
1 er échantillon
3 4 6 10 3 9 10 7 7 1
μ = 6.0
2 e échantillon
3 2 7 4 8 5 8 10 4 8
μ = 5.9
3 e échantillon
10 3 7 2 3 4 1 4 9 4
μ = 4.7
4 e échantillon
5 6 5 2 9 7 8 2 8 5
μ = 5.7
5 e échantillon
9 7 8 6 6 8 1 5 8 7
μ = 6.5
. . .
. . .
. . .
10 000 e échantillon 5 8 2 5 4 1 3 10 1 2
μ = 4.1
En retenant deux décimales, la moyenne des 10 000 valeurs de
μ ainsi obtenues
était de 5.50 et leur écart type était de 0.91, comme prédit par la théorie. La
figure 3.1 nous montre l’histogramme de ces 10 000 valeurs. Il suggère effectivement une distribution normale. De plus, les mesures d’asymétrie et d’aplatissement de ces 10 000 valeurs de
μ étaient respectivement de 0.01 et de −0.07,
confirmant ainsi la normalité.
6 Dans R, un échantillon de taille 10 provenant de cette distribution peut être généré en
utilisant la commande sample(1:10,10,replace=T). Dans notre exemple, on a par ailleurs
initialisé le générateur de nombres aléatoires de R en utilisant set.seed(1).
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proximativement normale ? ». La réponse dépendra en effet du degré de nonnormalité et notamment du degré d’asymétrie de la distribution des observations Y i . Ainsi, n = 100 ne sera pas forcément suffisant si Y i est asymétrique
(par exemple si Y i est log-normale), alors que n = 10 sera en général suffisant
si Y i est symétrique (évidemment, n = 1 suffira si Y i est elle-même normale).
Ces résultats ont été établis sur des bases théoriques. On peut les vérifier en
effectuant des simulations dont voici un exemple. On considère une population
de nombres entiers répartis uniformément entre 1 et 10 (avec 10 % de 1, 10 %
de 2, etc.). On considère de la sorte une variable Y i quantitative discrète, dont
la distribution n’est pas du tout normale (mais uniforme). On laissera vérifier
au lecteur que l’on a dans cette population une moyenne de μ = 5.5 et une
variance de σ
2 = 8.25. De cette population, on tire au hasard un échantillon
de taille n = 10. On obtient par exemple
6 :
3 4 6 10 3 9 10 7 7 1
La moyenne de cet échantillon est égale à
μ = 6.0, ce qui est légèrement audessus du véritable μ = 5.5. Les résultats ci-dessus nous disent cependant que si
on répétait l’expérience, la distribution des
μ obtenus serait à peu près normale
avec une moyenne de μ = 5.5 et un écart type de σ/
√
n =
8.25/10 = 0.91.
Vu que l’on connaît ici la population, il est possible de vérifier ces résultats en
répétant effectivement l’expérience, ce que nous avons fait 10 000 fois avec les
résultats suivants :
1 er échantillon
3 4 6 10 3 9 10 7 7 1
μ = 6.0
2 e échantillon
3 2 7 4 8 5 8 10 4 8
μ = 5.9
3 e échantillon
10 3 7 2 3 4 1 4 9 4
μ = 4.7
4 e échantillon
5 6 5 2 9 7 8 2 8 5
μ = 5.7
5 e échantillon
9 7 8 6 6 8 1 5 8 7
μ = 6.5
. . .
. . .
. . .
10 000 e échantillon 5 8 2 5 4 1 3 10 1 2
μ = 4.1
En retenant deux décimales, la moyenne des 10 000 valeurs de
μ ainsi obtenues
était de 5.50 et leur écart type était de 0.91, comme prédit par la théorie. La
figure 3.1 nous montre l’histogramme de ces 10 000 valeurs. Il suggère effectivement une distribution normale. De plus, les mesures d’asymétrie et d’aplatissement de ces 10 000 valeurs de
μ étaient respectivement de 0.01 et de −0.07,
confirmant ainsi la normalité.
6 Dans R, un échantillon de taille 10 provenant de cette distribution peut être généré en
utilisant la commande sample(1:10,10,replace=T). Dans notre exemple, on a par ailleurs
initialisé le générateur de nombres aléatoires de R en utilisant set.seed(1).