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Statistique appliquée aux sciences de la vie
Un estimateur non biaisé est donc d’autant plus précis que son erreur type
(sa variance) est petite. La formule ci-dessus nous indique que la précision
de l’estimateur
μ dépend de deux facteurs : la racine carrée de la taille n
de l’échantillon dans lequel il est calculé et la variabilité, mesurée par l’écart
type σ, dans la population de laquelle l’échantillon provient (et dont on veut
connaître la moyenne μ). Ainsi :
• l’estimateur est d’autant plus précis que la taille de l’échantillon
est grande
→ logique : le hasard de l’échantillonnage aura moins d’impact dans un
grand échantillon que dans un petit échantillon
• l’estimateur est d’autant plus précis que la variabilité dans la
population est petite
→ logique : le hasard de l’échantillonnage aura moins d’impact si les individus de la population de laquelle provient l’échantillon se ressemblent,
que s’ils sont très différents les uns des autres.
Notons que ce résultat est un résultat théorique. En pratique, on ne peut
pas calculer l’erreur type de
μ puisqu’elle dépend de σ (que l’on ne connaît pas
plus que l’on ne connaît μ). On aura ainsi deux bonnes raisons d’estimer σ. Cela
nous donnera d’une part une estimation de la variabilité dans la population, ce
qui est intéressant en soi, et cela nous donnera d’autre part une estimation de
l’erreur type (et donc de la précision) de l’estimateur
μ.
On connaît à présent l’espérance et la variance de
μ. Les résultats suivants
complètent notre connaissance de la distribution de
μ :
•
μ =
1
n
i Y i sera normale si Y i est normale
•
μ =
1
n
i Y i sera approximativement normale même si Y i est non normale
(pour autant que n soit suffisamment grand).
Le premier de ces résultats se déduit directement d’autres résultats déjà mentionnés. Le second de ces résultats est fameux et connu sous le nom de théorème
central limite
5 . On a ainsi le résultat général suivant :
La variable standardisée
μ − E( μ)
SE( μ)
=
√
n ·
μ − μ
σ
aura une distribution
normale standardisée si n est suffisamment grand.
Notons qu’il est difficile de répondre à la question « à partir de quelle taille
n d’échantillon, la distribution de
μ peut-elle être considérée comme étant ap5 Ce théorème a été publié en 1812 par le mathématicien Pierre-Simon de Laplace et a fait
apparaître au grand jour le rôle privilégié de la distribution normale en statistique.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Un estimateur non biaisé est donc d’autant plus précis que son erreur type
(sa variance) est petite. La formule ci-dessus nous indique que la précision
de l’estimateur
μ dépend de deux facteurs : la racine carrée de la taille n
de l’échantillon dans lequel il est calculé et la variabilité, mesurée par l’écart
type σ, dans la population de laquelle l’échantillon provient (et dont on veut
connaître la moyenne μ). Ainsi :
• l’estimateur est d’autant plus précis que la taille de l’échantillon
est grande
→ logique : le hasard de l’échantillonnage aura moins d’impact dans un
grand échantillon que dans un petit échantillon
• l’estimateur est d’autant plus précis que la variabilité dans la
population est petite
→ logique : le hasard de l’échantillonnage aura moins d’impact si les individus de la population de laquelle provient l’échantillon se ressemblent,
que s’ils sont très différents les uns des autres.
Notons que ce résultat est un résultat théorique. En pratique, on ne peut
pas calculer l’erreur type de
μ puisqu’elle dépend de σ (que l’on ne connaît pas
plus que l’on ne connaît μ). On aura ainsi deux bonnes raisons d’estimer σ. Cela
nous donnera d’une part une estimation de la variabilité dans la population, ce
qui est intéressant en soi, et cela nous donnera d’autre part une estimation de
l’erreur type (et donc de la précision) de l’estimateur
μ.
On connaît à présent l’espérance et la variance de
μ. Les résultats suivants
complètent notre connaissance de la distribution de
μ :
•
μ =
1
n
i Y i sera normale si Y i est normale
•
μ =
1
n
i Y i sera approximativement normale même si Y i est non normale
(pour autant que n soit suffisamment grand).
Le premier de ces résultats se déduit directement d’autres résultats déjà mentionnés. Le second de ces résultats est fameux et connu sous le nom de théorème
central limite
5 . On a ainsi le résultat général suivant :
La variable standardisée
μ − E( μ)
SE( μ)
=
√
n ·
μ − μ
σ
aura une distribution
normale standardisée si n est suffisamment grand.
Notons qu’il est difficile de répondre à la question « à partir de quelle taille
n d’échantillon, la distribution de
μ peut-elle être considérée comme étant ap5 Ce théorème a été publié en 1812 par le mathématicien Pierre-Simon de Laplace et a fait
apparaître au grand jour le rôle privilégié de la distribution normale en statistique.