3. Estimation
41
En moyenne, la moyenne de l’échantillon est égale
à la moyenne de la population.
Autrement dit, bien que la moyenne de notre échantillon soit en général différente de la moyenne de la population, il est bon de savoir qu’en moyenne on
viserait juste si on répétait l’expérience (on ne serait pas systématiquement en
dessous ni systématiquement en dessus).
Calculons à présent la variance de
μ. Pour autant que les observations de
l’échantillon soient indépendantes, on obtient en généralisant un résultat vu
dans la section précédente :
Var
i
Y i
=
i
Var(Y i ).
On en déduit
4 :
Var ( μ) = V ar
i Y i
n
=
i Var(Y i )
n 2
=
nσ
2
n 2 =
σ
2
n
.
Il s’agit d’une nouvelle formule fondamentale de la statistique que nous encadrerons sous la forme équivalente suivante :
SE( μ) =
σ
√
n
.
Un estimateur avec une petite erreur type (une petite variance) est un
estimateur qui ne varierait pas beaucoup d’un échantillon à l’autre si on répétait
l’expérience. L’estimation dépend donc peu de l’échantillon particulier dans
lequel elle est calculée. Si l’estimateur est par ailleurs non biaisé, l’estimation
sera alors proche du paramètre que l’on désire estimer. Autrement dit, une
petite erreur type (une petite variance) pour un estimateur non biaisé est un
gage de précision.
Un estimateur est précis s’il est non biaisé et si son erreur type est petite.
4 On notera que si la taille N de la population est finie et si les n observations (avec
n ≤ N ) sont tirées au hasard de cette population mais « sans remise », alors les observations
ne seront pas tout à fait indépendantes et on aura Var(b μ) = (σ 2 /n) · (N − n)/(N − 1). Le
facteur correctif (N − n)/(N − 1) sera cependant négligeable (c’est-à-dire proche de 1) si la
taille N de la population est beaucoup plus grande que la taille n de l’échantillon.
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En moyenne, la moyenne de l’échantillon est égale
à la moyenne de la population.
Autrement dit, bien que la moyenne de notre échantillon soit en général différente de la moyenne de la population, il est bon de savoir qu’en moyenne on
viserait juste si on répétait l’expérience (on ne serait pas systématiquement en
dessous ni systématiquement en dessus).
Calculons à présent la variance de
μ. Pour autant que les observations de
l’échantillon soient indépendantes, on obtient en généralisant un résultat vu
dans la section précédente :
Var
i
Y i
=
i
Var(Y i ).
On en déduit
4 :
Var ( μ) = V ar
i Y i
n
=
i Var(Y i )
n 2
=
nσ
2
n 2 =
σ
2
n
.
Il s’agit d’une nouvelle formule fondamentale de la statistique que nous encadrerons sous la forme équivalente suivante :
SE( μ) =
σ
√
n
.
Un estimateur avec une petite erreur type (une petite variance) est un
estimateur qui ne varierait pas beaucoup d’un échantillon à l’autre si on répétait
l’expérience. L’estimation dépend donc peu de l’échantillon particulier dans
lequel elle est calculée. Si l’estimateur est par ailleurs non biaisé, l’estimation
sera alors proche du paramètre que l’on désire estimer. Autrement dit, une
petite erreur type (une petite variance) pour un estimateur non biaisé est un
gage de précision.
Un estimateur est précis s’il est non biaisé et si son erreur type est petite.
4 On notera que si la taille N de la population est finie et si les n observations (avec
n ≤ N ) sont tirées au hasard de cette population mais « sans remise », alors les observations
ne seront pas tout à fait indépendantes et on aura Var(b μ) = (σ 2 /n) · (N − n)/(N − 1). Le
facteur correctif (N − n)/(N − 1) sera cependant négligeable (c’est-à-dire proche de 1) si la
taille N de la population est beaucoup plus grande que la taille n de l’échantillon.