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Statistique appliquée aux sciences de la vie
Les choses ne seront cependant pas toujours aussi simples, par exemple E(Y 1 /Y 2 )
sera différent de E(Y 1 )/E(Y 2 ) (l’espérance d’un quotient ne sera pas égale au
quotient des espérances). On a par ailleurs le résultat fondamental suivant
3 :
• Var(Y 1 + Y 2 ) = Var(Y 1 ) + Var(Y 2 ) (si Y 1 et Y 2 sont indépendantes).
La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes
est égale à la somme de leurs variances.
En rappelant que Var(−Y ) = Var(Y ), on en déduit également :
• Var(Y 1 − Y 2 ) = Var(Y 1 ) + Var(Y 2 ) (si Y 1 et Y 2 sont indépendantes).
Notons que l’écart type ne possède pas cette propriété. L’écart type de la somme
de deux variables aléatoires indépendantes sera en effet plus petit que la somme
de leurs écarts types.
3.3 Distribution de la moyenne d’un échantillon
On peut à présent calculer l’espérance de la variable estimateur
μ. Si on
dénote par Y 1 , Y 2 , · · · , Y n les observations de l’échantillon, on obtient en généralisant un résultat vu dans la section précédente :
E
i
Y i
=
i
E(Y i ).
On en déduit :
E( μ) = E
i Y i
n
=
i E(Y i )
n
=
nμ
n
= μ.
Ce résultat n’est pas surprenant. Il nous dit que
μ serait en moyenne égal à μ
si on répétait l’expérience. On dit alors que
μ est un estimateur sans biais (ou
non biaisé) de μ.
3 Illustrons ce résultat avec un exemple : on considère deux variables Y 1 et Y 2 quantitatives
discrètes, la première avec une distribution uniforme sur l’ensemble {1, 2, 6} (c’est-à-dire un
tiers de 1, un tiers de 2 et un tiers de 6), la seconde avec une distribution uniforme sur
l’ensemble {3, 6, 12}. Le lecteur pourra vérifier que l’on a ici Var(Y 1 ) = 14/3 et Var(Y 2 ) = 14.
Si ces deux variables sont indépendantes, la variable Y 1 + Y 2 aura une distribution uniforme
sur l’ensemble {4, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 18} (constitué de toutes les sommes possibles entre un
élément du premier et un élément du second ensemble). Il se trouve alors que la variance de
cet ensemble, c’est-à-dire Var(Y 1 + Y 2 ), est égale à 56/3, c’est-à-dire à la somme 14/3 + 14.
Notons que l’on a également E(Y 1 ) = 3, E(Y 2 ) = 7 et E(Y 1 + Y 2 ) = 10 (3 + 7). Par contre, la
médiane de Y 1 + Y 2 (qui vaut 9) n’est pas égale à la somme des médianes de Y 1 et de Y 2 (qui
valent 2 et 6) ; certaines propriétés remarquables de la moyenne et de la variance ne sont pas
partagées par d’autres paramètres.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Les choses ne seront cependant pas toujours aussi simples, par exemple E(Y 1 /Y 2 )
sera différent de E(Y 1 )/E(Y 2 ) (l’espérance d’un quotient ne sera pas égale au
quotient des espérances). On a par ailleurs le résultat fondamental suivant
3 :
• Var(Y 1 + Y 2 ) = Var(Y 1 ) + Var(Y 2 ) (si Y 1 et Y 2 sont indépendantes).
La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes
est égale à la somme de leurs variances.
En rappelant que Var(−Y ) = Var(Y ), on en déduit également :
• Var(Y 1 − Y 2 ) = Var(Y 1 ) + Var(Y 2 ) (si Y 1 et Y 2 sont indépendantes).
Notons que l’écart type ne possède pas cette propriété. L’écart type de la somme
de deux variables aléatoires indépendantes sera en effet plus petit que la somme
de leurs écarts types.
3.3 Distribution de la moyenne d’un échantillon
On peut à présent calculer l’espérance de la variable estimateur
μ. Si on
dénote par Y 1 , Y 2 , · · · , Y n les observations de l’échantillon, on obtient en généralisant un résultat vu dans la section précédente :
E
i
Y i
=
i
E(Y i ).
On en déduit :
E( μ) = E
i Y i
n
=
i E(Y i )
n
=
nμ
n
= μ.
Ce résultat n’est pas surprenant. Il nous dit que
μ serait en moyenne égal à μ
si on répétait l’expérience. On dit alors que
μ est un estimateur sans biais (ou
non biaisé) de μ.
3 Illustrons ce résultat avec un exemple : on considère deux variables Y 1 et Y 2 quantitatives
discrètes, la première avec une distribution uniforme sur l’ensemble {1, 2, 6} (c’est-à-dire un
tiers de 1, un tiers de 2 et un tiers de 6), la seconde avec une distribution uniforme sur
l’ensemble {3, 6, 12}. Le lecteur pourra vérifier que l’on a ici Var(Y 1 ) = 14/3 et Var(Y 2 ) = 14.
Si ces deux variables sont indépendantes, la variable Y 1 + Y 2 aura une distribution uniforme
sur l’ensemble {4, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 18} (constitué de toutes les sommes possibles entre un
élément du premier et un élément du second ensemble). Il se trouve alors que la variance de
cet ensemble, c’est-à-dire Var(Y 1 + Y 2 ), est égale à 56/3, c’est-à-dire à la somme 14/3 + 14.
Notons que l’on a également E(Y 1 ) = 3, E(Y 2 ) = 7 et E(Y 1 + Y 2 ) = 10 (3 + 7). Par contre, la
médiane de Y 1 + Y 2 (qui vaut 9) n’est pas égale à la somme des médianes de Y 1 et de Y 2 (qui
valent 2 et 6) ; certaines propriétés remarquables de la moyenne et de la variance ne sont pas
partagées par d’autres paramètres.