2. Distribution d’une variable
35
Un autre résultat intéressant est le suivant. En utilisant la formule de Taylor
(bien connue des mathématiciens), on obtient
17 :
variance(log(Y )) ≈
variance(Y )
mean 2 (Y )
c’est-à-dire :
stdev(log(Y )) ≈ varcoef (Y ).
Ainsi, lorsqu’on calcule un coefficient de variation plutôt qu’un écart type pour
mesurer la variabilité d’un ensemble de données, on reconnaît implicitement
que l’échelle naturelle pour analyser ces données est l’échelle logarithmique,
non l’échelle originale.
Exemple 2.11 On introduira plus en détail au chapitre 5 un ensemble de données où l’on a mesuré le taux de créatine dans le sang pour n = 31 femmes atteintes d’une maladie génétique. Sur l’échelle logarithmique, où l’on sera proche
de la normalité, on a une moyenne de 4.71 et un écart type de 0.91. Cela suggère sur l’échelle originale un taux de créatine médian de exp(4.71) = 111.1 et
un coefficient de variation de 0.91.
2.13 Distribution d’une variable binaire
Une variable binaire Y , avec ses deux valeurs possibles que l’on notera 1
et 0, est un cas particulier de variable qualitative. Comme il y a deux valeurs
possibles, la distribution d’une variable binaire est caractérisée par une seule
proportion. Cependant, une variable binaire peut aussi être vue comme un cas
particulier de variable quantitative (mesurée sur une échelle où l’une des valeurs
possibles vaut 0 et la distance entre les deux valeurs possibles vaut 1). On peut
dès lors calculer sa moyenne et sa variance comme suit :
• mean(Y ) est la proportion de 1
• variance(Y ) = mean(Y
2 ) − mean
2 (Y ) = mean(Y )(1 − mean(Y )).
Exemple 2.12 Si Y dénote le sexe d’un nouveau-né (avec Y = 1 pour les
garçons et Y = 0 pour les filles) et si sur 1000 naissances on observe 527
garçons et 473 filles, on aura mean(Y ) = 0.527 (et donc une proportion de
52.7 % de garçons) et variance(Y ) = 0.527 · 0.473 = 0.249.
17 En appliquant la formule de Taylor :
g(Y ) ≈ g(a) + (Y − a)g
(a)
avec a = mean(Y ), et en utilisant les propriétés élémentaires de la variance, on obtient le
résultat général suivant :
variance(g(Y )) ≈ variance(Y ) · [g
(mean(Y ))]
2 .
La formule ci-dessus s’obtient donc avec g(Y ) = log(Y ) (et g (mean(Y )) = 1/mean(Y )).
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Un autre résultat intéressant est le suivant. En utilisant la formule de Taylor
(bien connue des mathématiciens), on obtient
17 :
variance(log(Y )) ≈
variance(Y )
mean 2 (Y )
c’est-à-dire :
stdev(log(Y )) ≈ varcoef (Y ).
Ainsi, lorsqu’on calcule un coefficient de variation plutôt qu’un écart type pour
mesurer la variabilité d’un ensemble de données, on reconnaît implicitement
que l’échelle naturelle pour analyser ces données est l’échelle logarithmique,
non l’échelle originale.
Exemple 2.11 On introduira plus en détail au chapitre 5 un ensemble de données où l’on a mesuré le taux de créatine dans le sang pour n = 31 femmes atteintes d’une maladie génétique. Sur l’échelle logarithmique, où l’on sera proche
de la normalité, on a une moyenne de 4.71 et un écart type de 0.91. Cela suggère sur l’échelle originale un taux de créatine médian de exp(4.71) = 111.1 et
un coefficient de variation de 0.91.
2.13 Distribution d’une variable binaire
Une variable binaire Y , avec ses deux valeurs possibles que l’on notera 1
et 0, est un cas particulier de variable qualitative. Comme il y a deux valeurs
possibles, la distribution d’une variable binaire est caractérisée par une seule
proportion. Cependant, une variable binaire peut aussi être vue comme un cas
particulier de variable quantitative (mesurée sur une échelle où l’une des valeurs
possibles vaut 0 et la distance entre les deux valeurs possibles vaut 1). On peut
dès lors calculer sa moyenne et sa variance comme suit :
• mean(Y ) est la proportion de 1
• variance(Y ) = mean(Y
2 ) − mean
2 (Y ) = mean(Y )(1 − mean(Y )).
Exemple 2.12 Si Y dénote le sexe d’un nouveau-né (avec Y = 1 pour les
garçons et Y = 0 pour les filles) et si sur 1000 naissances on observe 527
garçons et 473 filles, on aura mean(Y ) = 0.527 (et donc une proportion de
52.7 % de garçons) et variance(Y ) = 0.527 · 0.473 = 0.249.
17 En appliquant la formule de Taylor :
g(Y ) ≈ g(a) + (Y − a)g
(a)
avec a = mean(Y ), et en utilisant les propriétés élémentaires de la variance, on obtient le
résultat général suivant :
variance(g(Y )) ≈ variance(Y ) · [g
(mean(Y ))]
2 .
La formule ci-dessus s’obtient donc avec g(Y ) = log(Y ) (et g (mean(Y )) = 1/mean(Y )).