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Statistique appliquée aux sciences de la vie
Ceci nous indique qu’appliquer une transformation logarithmique revient (en
un sens) à exprimer les différences entre observations de façon relative plutôt
qu’absolue. Si on compare par exemple deux Onobrychis de 24 cm et de 25
cm, leur différence absolue est de 1 cm, alors que leur différence relative est de
log(25) − log(24) = 3.22 − 3.18 = 0.04 ≈ (25 − 24)/24.
Il existe de nombreux domaines où l’on préfère exprimer des différences de
façon relative plutôt que de façon absolue (exemple : on parlera d’une augmentation d’une prime d’assurances de 10 % plutôt que de 200 euros). Ce sera le
cas pour des variables avec des valeurs possibles strictement positives, où la
valeur zéro représente en général non seulement une valeur de référence, mais
également un minimum absolu (en principe inatteignable)
15 . Pour de telles
variables, une analyse statistique se fera le plus naturellement du monde sur
l’échelle logarithmique.
Considérons à présent le cas d’une variable Y asymétrique, que l’on transforme de telle sorte que log(Y ) soit à peu près symétrique. On aura ainsi :
mean(log(Y )) ≈ median(log(Y )).
Comme on a toujours par ailleurs :
median(log(Y )) = log(median(Y ))
on obtiendra finalement :
mean(log(Y )) ≈ log(median(Y ))
ce qui implique :
exp(mean(log(Y ))) ≈ median(Y ).
On a vu que pour une variable asymétrique, la médiane est souvent plus intéressante que la moyenne car elle est représentative de l’ensemble des données.
On voit ici que la quantité exp(mean(log(Y ))) est une approximation de la médiane de Y , qui a l’avantage d’être calculée à partir d’une moyenne (la moyenne
de log(Y )). On combine ainsi la représentativité de la médiane avec la finesse
de la moyenne, ce qui n’est pas rien ! Cette quantité est aussi connue sous le
nom de moyenne géométrique
16 :
exp(mean(log(Y ))) = exp
1
n
i
log(y i )
= n
i
y i .
Ainsi, lorsqu’on calcule une moyenne géométrique plutôt qu’une moyenne arithmétique pour mesurer la tendance centrale d’un ensemble de données, on reconnaît implicitement que l’échelle naturelle pour analyser ces données est l’échelle
logarithmique, non l’échelle originale.
15 À l’inverse, il y aura peu de sens à calculer des différences relatives (ou des quotients)
impliquant une variable dont le minimum absolu est autre que zéro. Il y a par exemple peu de
sens à dire qu’une température de 30 degrés Celsius est trois fois supérieure à une température
de 10 degrés Celsius ; car que dire alors d’une température de −10 degrés Celsius ?
16 La notation
Q
i y i désigne le produit des observations :
Q
i y i = y 1 · y 2 · · · · yn.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Ceci nous indique qu’appliquer une transformation logarithmique revient (en
un sens) à exprimer les différences entre observations de façon relative plutôt
qu’absolue. Si on compare par exemple deux Onobrychis de 24 cm et de 25
cm, leur différence absolue est de 1 cm, alors que leur différence relative est de
log(25) − log(24) = 3.22 − 3.18 = 0.04 ≈ (25 − 24)/24.
Il existe de nombreux domaines où l’on préfère exprimer des différences de
façon relative plutôt que de façon absolue (exemple : on parlera d’une augmentation d’une prime d’assurances de 10 % plutôt que de 200 euros). Ce sera le
cas pour des variables avec des valeurs possibles strictement positives, où la
valeur zéro représente en général non seulement une valeur de référence, mais
également un minimum absolu (en principe inatteignable)
15 . Pour de telles
variables, une analyse statistique se fera le plus naturellement du monde sur
l’échelle logarithmique.
Considérons à présent le cas d’une variable Y asymétrique, que l’on transforme de telle sorte que log(Y ) soit à peu près symétrique. On aura ainsi :
mean(log(Y )) ≈ median(log(Y )).
Comme on a toujours par ailleurs :
median(log(Y )) = log(median(Y ))
on obtiendra finalement :
mean(log(Y )) ≈ log(median(Y ))
ce qui implique :
exp(mean(log(Y ))) ≈ median(Y ).
On a vu que pour une variable asymétrique, la médiane est souvent plus intéressante que la moyenne car elle est représentative de l’ensemble des données.
On voit ici que la quantité exp(mean(log(Y ))) est une approximation de la médiane de Y , qui a l’avantage d’être calculée à partir d’une moyenne (la moyenne
de log(Y )). On combine ainsi la représentativité de la médiane avec la finesse
de la moyenne, ce qui n’est pas rien ! Cette quantité est aussi connue sous le
nom de moyenne géométrique
16 :
exp(mean(log(Y ))) = exp
1
n
i
log(y i )
= n
i
y i .
Ainsi, lorsqu’on calcule une moyenne géométrique plutôt qu’une moyenne arithmétique pour mesurer la tendance centrale d’un ensemble de données, on reconnaît implicitement que l’échelle naturelle pour analyser ces données est l’échelle
logarithmique, non l’échelle originale.
15 À l’inverse, il y aura peu de sens à calculer des différences relatives (ou des quotients)
impliquant une variable dont le minimum absolu est autre que zéro. Il y a par exemple peu de
sens à dire qu’une température de 30 degrés Celsius est trois fois supérieure à une température
de 10 degrés Celsius ; car que dire alors d’une température de −10 degrés Celsius ?
16 La notation
Q
i y i désigne le produit des observations :
Q
i y i = y 1 · y 2 · · · · yn.